Основания механики

[drzewo]

Предпринимался ряд попыток построить классическую механику аксиоматически. Началось это дело, как я полагаю, с Трусделла. С моей точки зрения эта деятельность не имеет смысла, а сами попытки одинаково неудачны. По ассоциации со снесенной тут на днях веткой, вспомнил про одну из относительно недавних попыток аксиоматизировать механику от академика Журавлева:

https://storage4u.ru/file/2024/12/06/893018142f5a5312bf08840bf988038e.djvu

(Оффтоп)

Сам я это сочинение даже до середины не читал, поскольку имею привычку читать тексты до первой ошибки.

[amon]

drzewo в сообщении #1663832 писал(а):

С моей точки зрения эта деятельность не имеет смысла, а сами попытки одинаково неудачны.

С моей тоже. Задачей теор. физики, с моей точки зрения, является приспособить существующий мат. аппарат для объяснения либо предсказания некого эксперимента (в обобщенном смысле, например, орбиты Марса), а если такового аппарата не сыщется, придумать свой, не очень беспокоясь о математической строгости последнего ($\delta$-функцию, интеграл по траекториям, в конце концов, просто интеграл и производную). Для этого аксиоматика не очень важна, важнее кулинарные рецепты получения числа в результате всех математических манипуляций. С этой точки зрения аксиоматика Гильберта не имеет преимуществ перед Евклидовой - результат вычисления длины гипотенузы по теореме Пифагора от этого не поменяется.

Кроме того, всякая нынешняя физическая теория является приближенной, и наводить строгую аксиоматику на нее дело, IMHO, не слишком осмысленное. Касательно препринта, там неточностей, как я мог заметить просматривая по диагонали, многовато для строгой аксиоматики.

[drzewo]

amon в сообщении #1663851 писал(а):

Касательно препринта, там неточностей, как я мог заметить просматривая по диагонали, многовато для строгой аксиоматики.

У Журавлева, по-моему, какие-то проблемы с принципом относительности Галилея и с понятием <<дифференциальное уравнение инвариантно относительно группы преобразований>>. Я слышал от коллег, что он оспаривает определения из <<Мат. методов>> Арнольда, а в этом препринте он пишет, что уравнение (2) стр 5 инвариантно относительно группы Галилея, и это при том, что правая часть (2) явно зависит от времени.

[amon]

drzewo в сообщении #1663855 писал(а):

У Журавлева, по-моему, какие-то проблемы с принципом относительности Галилея

Я на этом же споткнулся. Преобразования $t\to t'=t+\omega x$ не являются преобразованием Галилея. Более того, условие "прямая переходит в прямую" недостаточно. Можно придумать дробно-линейные преобразования, для которых это условие будет выполнено.

[drzewo]

amon в сообщении #1663858 писал(а):

Преобразования $t\to t'=t+\omega x$ не являются преобразованием Галилея

Он это и не утверждает, смотрите внимательно, там тоньше проблема

[amon]

drzewo в сообщении #1663863 писал(а):

Он это и не утверждает

Согласен. По диагонали смотрел.

[drzewo]

Я тут даже свой конспект по постулатам механики пересмотрел, что бы эти дурилки картонные, которые Журавлев набрасывает отсекались.
https://drive.google.com/file/d/1xIQvI_VeRtWIeqJBUb5yrBgFg_rhdkv6/view?usp=sharing

[amon]

drzewo в сообщении #1664270 писал(а):

Я тут даже свой конспект по постулатам механики пересмотрел

У меня в голове примерно такая же картина мира. Единственное замечание к постулату 4

drzewo в Постулаты классической механики писал(а):

Постулат 4 (Принцип суперпозиции, [2]). Предположим, что если материальная точка взаимодействует только с системой $I$ то ее уравнение движения в ИСО имеет вид
$m\ddot r = F_I .$
Предположим, что если материальная точка взаимодействует только с системой $II,$ то ее уравнение движения в ИСО имеет вид
$m\ddot r = F_{II} .$
Тогда, если на материальную точку воздействуют сразу обе системы $I$ и $II,$ и других воздействий нет, то второй закон Ньютона для этой точки записывается следующим образом:
$m\ddot r = F_I +F_{II}.$

В этом месте неявно используется принцип суперпозиции для полей, переносящих взаимодействие. В нашем макроскопическом мире это почти всегда так: все силы на наших масштабах электродинамические и линейны по полям. Для полей выполняется принцип суперпозиции, откуда следует принцип суперпозиции для сил. Но бывают и исключения (редкие и экзотические). Пример. Пусть есть наведенный диполь в электрическом поле
$\mathbf{d}=\chi\mathbf{E}.$
Потенциальная энергия такого диполя в электрическом поле
$U(\mathbf{E})=(\mathbf{d,E})\sim \mathbf{E}^2,$ и $U(E_I+E_{II})\ne U(E_I)+U(E_{II}).$
Аналогичный фокус будет с давлением света. Если источники света когерентны, то сила давления от двух источников не равна векторной сумме сил от каждого источника по-отдельности, поскольку эта сила квадратична по полям.

[drzewo]

Спасибо, принято к сведению. А сформулировать этот постулат с учетом Вашего замечания возможно?

[amon]

drzewo в сообщении #1664348 писал(а):

А сформулировать этот постулат с учетом Вашего замечания возможно?

Надо подумать. Сходу не получается.

[amon]

drzewo в сообщении #1664348 писал(а):

А сформулировать этот постулат с учетом Вашего замечания возможно?

Коряво можно как-то так сформулировать: "В случаях, когда сила, действующая на тело, не зависит от изменения внутреннего состояния тела, возникающего под действием этой силы, ..." и далее - по тексту.

[drzewo]

Понятно. Тогда тут скорее возникают вопросы типа <<а можно ли считать диполь материальной точкой?>>

[amon]

drzewo в сообщении #1664379 писал(а):

Тогда тут скорее возникают вопросы типа <<а можно ли считать диполь материальной точкой?>>

Можно, наверно, загнать это свойство в определение материальной точки. Тогда диполь - не материальная точка.

[drzewo]

amon
а не посчитать ли нам метрику в пространстве-времени, инвариантную относительно группы Галилея?
а то мне лавры Лоренца Пуанкаре и Минковского покоя не дают :)

[amon]

drzewo в сообщении #1666372 писал(а):

метрику в пространстве-времени, инвариантную относительно группы Галилея

Подумать надо. Как-то не задумывался об этом. Стандартное $\operatorname{diag}(1,1,1,1)$ не годится, поскольку позволяет перепутывать время с координатами и не сохраняет длину 3-векторов.