Stratim, алгебра и теоремы Геделя

[dgwuqtj]

Stratim в сообщении #1666297 писал(а):

Так что по поводу представления ноля в теории групп и обобщении идеи ноля там?

В теории полугрупп есть понятия нейтрального элемента относительно операции $*$ и нулевого (поглощающего) элемента. А именно, $I$ нейтральный, если $I * a = a = a * I$ для всех $a$, и $Z$ нулевой, если $Z * a = Z = a * Z$ для всех $a$. Если какой-то из этих элементов существует, то он единственный. Разумеется, если оба они есть, то $Z$ не может быть обратимым кроме случая тривиальной полугруппы (из одного элемента, в ней $Z = I$). Впрочем, есть ещё левые и правые нейтральные и нулевые элементы...

Mihr в сообщении #1666314 писал(а):

Насколько я понимаю, единица и ноль вообще ни в каком поле не совпадают.

Конечно. Поле — это коммутативное кольцо, у которого нулевой идеал максимален, а в нулевом кольце максимальных идеалов вообще нет. Минимальные по включению (примитивные) поля — это $\mathbb Q$ и все $\mathbb F_p$ для простых чисел $p$, тривиальными их вроде не называют.

[Stratim]

dgwuqtj

Спрашивал, есть ли там запрет на определённые действия, как это имеет место для ноля на более примитивном уровне операций? То есть принудительное введение исключения.

[dgwuqtj]

«На более примитивном уровне» — это где? Для колец никто таких запретов не вводит, там 0 даже может быть обратим. А могут почти все элементы не быть обратимыми. Для полей, конечно, 0 — единственный необратимый элемент, ну так без этого ничего бы не получилось.

Уже в множестве целых чисел вы не сможете посчитать $3 / 2$, без всяких явных запретов.

[mihaild]

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1666322 писал(а):

А, что в $\mathbb Z_2$ что-то нетривиальное?

Четная характеристика, например. Единственное удобоваримое поле с ней.

[Stratim]

dgwuqtj

Пользуясь случаем посмотрел на ситуацию с делением на ноль в целом в рамках теории чисел. Важная все же составляющая математики, кто бы сомневался. Для обобщенного и максимально простого представления всей математики раздел бесспорно обязательный.

Попалась мне совершенно замечательная лекция на этот счет для детишек (как раз подойдет для местной публики)

https://www.youtube.com/watch?v=UXrlZ66wTG8

Можно смотреть с 17 минуты. О чем там речь? Так о ЗАМКНУТОСТИ пространства на множестве комплексных чисел и шести базовых математических операций. О чем лектор не говорит, так это об исключении - делении на ноль!

Это теоремы Геделя здесь так обозначили своё присутствие?

[dgwuqtj]

Вы так и не написали свой список из 6 операций. Теоремы Гёделя тут уж точно ни при чём, вообще забудьте про них. Ну и, например, логарифм 0 тоже не определён, и что?

[Stratim]

dgwuqtj

Тая я же дал ссылку на лекцию. Шесть действие это сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и корень. Это же все не моё изобретение. Замкнутость налицо... но есть исключение.

А от теорем Гёделя не так-то просто отмахнуться. Хотя вроде как именно они делают математику самостоятельной областью гносеологии, иначе была бы всего лишь приложением к формальной логике. Тема мне эта интересна, но мы уйдем от темы заданной создателем - деление на ноль.

[mihaild]

Stratim в сообщении #1666338 писал(а):

Тая я же дал ссылку на лекцию

Попробуйте изучать математику не по популярным роликам, а по учебникам или по нормальным лекциям. Например, Рудин, "Основы математического анализа" и потом Рудин, "Действительный и комплексный анализ". Тогда и поймете, что придумали сами, а что нет.
Про теоремы Гёделя почитайте, например, "Языки и исчисления" Верещагина и Шеня.

После внимательного изучения этих или подобных книг (с прорешиванием задач!) Вы поймете, что никакого отношения теоремы Гёделя к обратимости нуля в полях не имеют.

[dgwuqtj]

И ещё это очень странный выбор «базовых» операций. Где логарифмы, гамма-функция, эллиптические функции? Операция извлечения корня тем более не всюду определена, скажем, для $\sqrt{-1}$ или $\sqrt[0] 3$. Не говоря уже о том, что это вопросы арифметики, а не теории чисел.

[Stratim]

mihaild

Лучшей лекции по Теории чисел не встречал. Все просто и наглядно. Кстати, для автора темы, там у лектора в начале есть оговорка - "на самом деле на ноль делить можно". Может у него есть где-то этому объяснение, мне пока это ни к чему, так что искать не стал.

А анализ здесь совсем ни при чем. Кстати одно из направлений моей работы теория самого анализа... очень Вам скажу прелюбопытная штука... но это не для левого полушария мозга (математика вся левополушарная), а для правого.

-- 20.12.2024, 19:26 --

dgwuqtj

Обратил внимание на замкнутость именно в этих рамках. И об исключении для ноля.

[tolstopuz]

mihaild в сообщении #1666339 писал(а):

и потом Рудин, "Действительный и комплексный анализ".

"Во валит, гад!"

[Mihr]

(Оффтоп)

Stratim в сообщении #1666338 писал(а):

А от теорем Гёделя не так-то просто отмахнуться. Хотя вроде как именно они делают математику самостоятельной областью гносеологии, иначе была бы всего лишь приложением к формальной логике.

Закусывать надо (c).

[Stratim]

mihaild

Меня в приведенной лекции интересовал не Шабат и анализ. А ЗАМКНУТОСТЬ и все то, что из неё вываливается в виде исключения. То есть интересует СИСТЕМНОЕ описание ВСЕЙ математики, пусть в самом поверхностном виде на 3 - 4 небольших страницах. Будет бесспорно аберрация дальности (поверхностность), но аберрация близости в этом вопросе ещё хуже, можно утонуть в частностях и деталях. А вот всякие тонкости, типа запрета каких-то операций (в нашем случае деления на ноль) это нужно будет учитывать обязательно.

Математика и формальная логика все же считаются разными дисциплинами и для этого есть веские основания, хотя математики поначалу очень болезненно восприняли теоремы Геделя, именно из-за обоснования невозможности обойтись строго формальным обоснованием фундамента математики.

[mihaild]

Stratim в сообщении #1666348 писал(а):

То есть интересует СИСТЕМНОЕ описание ВСЕЙ математики, пусть в самом поверхностном виде на 3 - 4 небольших страницах

Это невозможно, и, к счастью, не нужно.

Stratim в сообщении #1666348 писал(а):

Математика и формальная логика все же считаются разными дисциплинами и для этого есть веские основания

И, что интересно, математикам это вообще неинтересно.

Stratim в сообщении #1666348 писал(а):

хотя математики поначалу очень болезненно восприняли теоремы Геделя, именно из-за обоснования невозможности обойтись строго формальным обоснованием фундамента математики.

Приведите, пожалуйста, используемые Вами формулировки теорем Гёделя. Те, которые читал я, ничего про "обоснование фундамента" не говорят.

[Stratim]

mihaild

Википедия Вам в помощь.

Теоремы Геделя как раз и говорят о невозможности построения строго формального обоснования основ математики. Посмотрите историю вхождения теорем в математику. Большинство математиков это наверное и не интересует, не все же основами математики занимаются, живут в своей нише и в ус не дуют.

Собственно современная математика это лоскутное поле, где отдельные разделы существуют сами по себе. Тем и интересен проект Бурбаки, что они поставили цель представить математику как единое целое.