ОДУ в полных дифференциалах

[ewert]

Pypuk писал(а):

Откуда это ?

ewert писал(а):

${\partial P\over\partial y}={\partial Q\over\partial x}=(1+xy)e^{xy} \quad\Rightarrow\quad \exists U(x,y):\ {\partial U\over\partial x}=P,\ {\partial U\over\partial y}=Q$

Нипаняяятно...

Это -- стандартное условие потенциальности поля. Если для данных $P$, $Q$ потенциал $U$ действительно существует, т.е. если $P=U'_x$ и $Q=U'_y$, то

$P'_y=U''_{xy}=U''_{yx}=Q'_x.$

Ну и в обратную сторону тоже можно доказать (с непринципиальными в данном случае оговорками насчёт односвязности области).

--------------------------------------------------------------------
Ваш вариант решения, безусловно, верен, но ведь давалась-то эта задача наверняка не на сообразительность, а на отработку стандартных технических приёмов. Вот примерно этих.

[Pypuk]

Не ясно откуда берется вот это$(1+xy)e^x^y $

[antbez]

Это- посчитанная частная производная (производная от произведения)

[voroninv]

ewert в сообщении #166343 писал(а):

но ведь давалась-то эта задача наверняка не на сообразительность

Зачастую такие задачки именно на сообразительность и даются Нам давали и говорили - думайте, ребята

[Pypuk]

Вопрос решен. Всем спасибо. Только вот появился новый.
Нужно найти общий интеграл дифура высшего порядка.
$x^2y```=(y``)^2 $
$y``=z $
$x^2z`=z^2 $
$x^2dz/dx=z^2 $
$lnz^2=lnx^2+lnC $
$z^2=x^2C $
$z=x\sqrt{C} $
$y``=x\sqrt{c} $
Дальше нужно дважды проинтегрировать?
$y`=\int{x\sqrt{c}}dx $
$y=\int{1/2x^2\sqrt{c}dx} $
$y=\frac{1}{6}x^3\sqrt{C} $
Все верно ?

[Brukvalub]

Pypuk в сообщении #166595 писал(а):

Все верно ?

Нет. Например, при каждом акте интегрирования должна появляться своя константа - общее решение о.д.у. 3-го порядка зависит от 3-х констант.

[Someone]

Pypuk писал(а):

Вопрос решен. Всем спасибо. Только вот появился новый.
Нужно найти общий интеграл дифура высшего порядка.
$x^2y```=(y``)^2 $

Для обозначения производной используйте символ ' (штрих), а не ` (обратный штрих): $x^2y'''=(y'')^2$.

Pypuk писал(а):

$x^2dz/dx=z^2 $
$lnz^2=lnx^2+lnC $

Неправильно проинтегрировали. После разделения переменных получаем

$$\frac{dz}{z^2}=\frac{dx}{x^2}\text{,}\qquad\qquad[z=0?]$$

$$\int\frac{dz}{z^2}=\int\frac{dx}{x^2}+C_1\text{,}$$

и никаких логарифмов при интегрировании не получится (и ещё нужно не забыть, что при делении на $z^2$ было потеряно решение $z=0$).

[Pypuk]

$-1/z=-1/x+C_1$

[Someone]

По-моему, посмотрели на потолок и оттуда списали то, что там привиделось. Посмотрите лучше в таблицу интегралов.

P.S. Вы очень неудачно обозначаете производные. Выглядит совершенно дико.

[Pypuk]

Мдя с логарифмами глупость вышла, но решение там гораздо проще получалось
$z=\frac{1}{\frac{1}{x}-c} $
$y''=\frac{1}{\frac{1}{x}-c} $

$y'=\int{\frac{1}{\frac{1}{x}-c}=\frac{-x}{C_1}-\frac{ln(-1+C_1x}{(C_1)^2}+C_2 $
$y=\int{\frac{-x}{C_1}-\frac{ln(-1+C_1x}{(C_1)^2}+C_2}=\frac{-x^2}{2C_1}+\frac{ln(-1+C_1x}{C_1^3}-\frac{ln(-1C_1x)x}{C_1^2}-\frac{1}{C_1^3}+\frac{x}{C_1^2}+C_2x $
Это все решение или нужно еще что-то ?

[Someone]

Во-первых, про решение $z=0$ Вы начисто забыли.
Во-вторых,

$$y'=\int\frac{dx}{\frac 1x-C_1}=\int\frac{xdx}{1-C_1x}=\begin{cases}\frac{x^2}2+C_2\text{ при }C_1=0\text{,}\\ -\frac 1{C_1^2}(C_1x+\ln|C_1x-1|)+C_2\text{ при }C_1\neq 0\text{,}\end{cases}$$

поэтому случаи $C_1=0$ и $C_1\neq 0$ нужно было рассмотреть отдельно.
В-третьих, после третьего интегрирования (результат которого написан Вами неправильно) должна была появиться $C_3$.

[Pypuk]

Далее с $C_2$ так же поступать $C_2=0,C_2 \not =0$?

[Someone]

Модули потеряны. Скобки. Арифметические знаки. В общем случае должно было получиться

$$y=\left(C_2+\frac 1{C_1^2}\right)x-\frac{x^2}{2C_1}-\frac {C_1x-1}{C_1^3}\ln|C_1x-1|+C_3\text{;}$$

кроме того, нужно было указать два частных случая, которые получаются при $z=0$ и при $C_1=0$.

Добавлено спустя 2 минуты 8 секунд:

Pypuk писал(а):

Далее с $C_2$ так же поступать $C_2=0,C_2 \not =0$?

А что, при $C_2=0$ возникают какие-нибудь особенности? При $C_1=0$ общее решение не определено. Решение $z=0$ ни при каком конечном $C_1$ не получается. Поэтому эти случаи рассматриваются отдельно.

[Pypuk]

То есть этого делать не нужно?
Ps Спасибо, что уделили мне время

Добавлено спустя 25 минут 27 секунд:

при z=0 решений нет ?

[GAA]

«При z=0 решения есть».

Добавлено спустя 4 минуты 22 секунды:

Подстановка $y'' =0$ в исходное уравнение (второго упражнения) дает равенство. Просто, при разделении переменных, Вы разделили на $z$, не проверив, не потеряете ли при этом решения.