Базис пересечения подпространств

[justSMTH]

Я делал программу для подсчёта базиса пересечения. Взял алгоритм из этого файла https://yagubov.ru/_ld/18/1871_Baziz_sum_i_per.pdf . Использовал 2 способ(5 стр.). И вот во время тестирования Я заметил, что алгоритм ломается при квадратных матрицах, где ранг равен размерности.

Сперва Я подумал, что у них нет базиса пересечения, но по формуле $\dim(L_1 \cap L_2) = \dim(L_1) +\dim(L_2) - \dim(L_1+L_2)$. В случае с двумя базисами из трёх трёхмерных векторов получается базис пересечения должен быть равен трём.

С прямоугольными матрицами алгоритм работает хорошо. Есть ли решение для квадратных матриц?

[Ende]

justSMTH
Поправил формулы. Пожалуйста, используйте $\TeX$, это несложно. Пара долларов и слэш перед оператором dim.

$\dim(L_1 \cap L_2) = \dim(L_1) +\dim(L_2) - \dim(L_1+L_2)$

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

[mihaild]

Всё должно работать. Напишите, что конкретно делаете - какие матрицы берете, что получается после преобразований.
(утверждается, что можно матрицы из mathcad преобразовать в $\TeX$ вот так, но не проверял)

[justSMTH]

mihaild в сообщении #1665761 писал(а):

Всё должно работать. Напишите, что конкретно делаете - какие матрицы берете, что получается после преобразований.
(утверждается, что можно матрицы из mathcad преобразовать в $\TeX$ вот так, но не проверял)

Для начал сгенерировал 2 случайные матрицы:
3 1 6
4 1 4
1 7 1

5 1 9
3 1 5
4 1 0

Ранг у обоих равен трём
Транспонируем 1 матрицу
3 4 1
1 1 7
6 4 1

Транспонируем 2 матрицу
5 3 4
1 1 1
9 5 0


Базис Суммы:
3 4 1
1 1 7
6 4 1
ранг 3

Конкетенируем 1 матрицу с еденичной матрицой 3x3:
3 4 1 1 0 0
1 1 7 0 1 0
6 4 1 0 0 1

Приводим к треугольному ввиду
1 1,3333333333333333 0,3333333333333333 0,3333333333333333 0 0
0 1 -20,000000000000007 1,0000000000000002 -3,000000000000001 -0
0 0 1 -0,02469135802469136 0,14814814814814814 -0,012345679012345675

Дальше по алгоритму, Я должен последних n-r строк матрицы. 3-3=0. Получается не брать строк? Ладно, но со второй матрицей аналогичная ситуация, тоже надо брать 0 строк. Хотя должны были получить матрицу с размерностью 3.

[mihaild]

justSMTH в сообщении #1665764 писал(а):

Базис Суммы

Какоё суммы?

justSMTH в сообщении #1665764 писал(а):

Приводим к треугольному ввиду

А надо не к треугольному виду приводить, а левую часть к диагональному.

justSMTH в сообщении #1665764 писал(а):

Получается не брать строк?

Да, именно так. Если мы хотим записать систему уравнений на вектора, принадлежащие подпространству с базисом, заданной этой матрицей, то получится пустая система. Потому что любой вектор ему принадлежит.

justSMTH в сообщении #1665764 писал(а):

Хотя должны были получить матрицу с размерностью 3.

Нет, должны получить матрицу, размер которой в сумме с размерностью подпространства равен размерности всего пространства. Поскольку подпространство совпадает с пространством, то должны были получить матрицу нулевого размера (не путать с нулевой матрицей), и ее и получили.