Равенство с радикалами

[мат-ламер]

nnosipov в сообщении #1665371 писал(а):

Автор, вероятно, воспользовался символьным тождеством Рамануджана

$$\sqrt{m\sqrt[3]{4(m-2n)}+n\sqrt[3]{4m+n}}=\dfrac{\sqrt[3]{(4m+n)^2}+\sqrt[3]{4(m-2n)(4m+n)}-\sqrt[3]{2(m-2n)^2}}{3}.$$

А тут точно слева квадратный корень, а не кубический?
Посмотрел брошюру Левина о Рамануджане. Левин приводит такое тождество Рамануджана: $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{1/9}-\sqrt[3]{2/9}+\sqrt[3]{4/9}$ .
Наверное это равенство можно доказать. Но для начала его нужно придумать. И тут уже стоит вопрос - а как автор (Рамануджан) к нему пришёл? То что это равенство является следствием некоего равенства с буквами не отменяет вопрос, а как автор пришёл к этому более общему равенству?

-- Пн дек 16, 2024 09:53:55 --

мат-ламер в сообщении #1665513 писал(а):

как автор пришёл к этому более общему равенству?

Поиск привёл к статье Шевелева .

[Rak so dna]

nnosipov в сообщении #1665502 писал(а):

Вот две функции

$$\sqrt{9x^2+2x-7-8\sqrt[3]{(x-1)(x+1)^2}} \pm \sqrt{9x^2-2x-7+8\sqrt[3]{(x-1)^2(x+1)}},$$

графики которых выглядят весьма забавно (они определены всюду и кое-где просто константы).

\begin{align*} &\sqrt{9x^2+2x-7-8\sqrt[3]{(x-1)(x+1)^2}} \pm \sqrt{9x^2-2x-7+8\sqrt[3]{(x-1)^2(x+1)}} \\ &=\left|2\sqrt[3]{(x-1)^2(x+1)}+2\sqrt[3]{(x-1)(x+1)^2}-(x+1)\right| \\ &\pm\left|2\sqrt[3]{(x-1)^2(x+1)}+2\sqrt[3]{(x-1)(x+1)^2}-(x-1)\right| \end{align*}

[nnosipov]

мат-ламер в сообщении #1665513 писал(а):

А тут точно слева квадратный корень, а не кубический?

Точно. У Рамануджана было два подобных тождества.

Вот еще одно равенство с радикалами, но теперь только с кубическими:

$$\sqrt[3]{666-378\sqrt[3]{6}}+\sqrt[3]{-153+189\sqrt[3]{6}}=3.$$

И здесь тоже есть однопараметрическое тождество.