Равенство с радикалами

[Babybat]

Дано равенство $\sqrt{12\sqrt[3]{2}-15}+2\sqrt{3\sqrt[3]{4}-3}=3$, требуется его доказать. Мат. программы подсказывают, что $12\sqrt[3]{2}-15=(1+2\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{4})^2$, а ${3\sqrt[3]{4}-3}=(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})^2$. Мне непонятно, как "увидеть" эти квадраты.

[Утундрий]

Методом неопределённых коэффициентов, например.

[мат-ламер]

Babybat в сообщении #1665333 писал(а):

Мне непонятно, как "увидеть" эти квадраты.

А вы не пробовали хоть как-то манипулировать с исходным равенством? Например, для начала можно возвести его в квадрат (не значит, что на этом можно остановиться).

[drzewo]

я бы перенес один радикал вправо, возвел бы в квадрат. Для этого , естественно, надо проверять знаки. Потом опять уединил бы радикал, опять возвел бы в квадрат.

[nnosipov]

Поскольку внешних радикалов два и они оба квадратные, двойное возведение в квадрат их убьет. Та же история будет и с тремя квадратными радикалами, только в квадрат придется возводить трижды. Вот если бы их было четыре, тогда пришлось бы подумать.

[Babybat]

мат-ламер в сообщении #1665336 писал(а):

Babybat в сообщении #1665333 писал(а):

Мне непонятно, как "увидеть" эти квадраты.

А вы не пробовали хоть как-то манипулировать с исходным равенством? Например, для начала можно возвести его в квадрат (не значит, что на этом можно остановиться).

Пробовал, равенство доказывается. Но то, как равенство было получено автором задачи изначально, понятнее не стало.

[nnosipov]

Babybat в сообщении #1665370 писал(а):

Но то, как равенство было получено автором задачи изначально, понятнее не стало.

Автор, вероятно, воспользовался символьным тождеством Рамануджана

$$\sqrt{m\sqrt[3]{4(m-2n)}+n\sqrt[3]{4m+n}}=\dfrac{\sqrt[3]{(4m+n)^2}+\sqrt[3]{4(m-2n)(4m+n)}-\sqrt[3]{2(m-2n)^2}}{3}.$$

А откуда эта задача?

[Babybat]

nnosipov писал(а):

А откуда эта задача?

Гомонов С.А.
"Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения: 10-11 классы".

[TOTAL]

Babybat в сообщении #1665370 писал(а):

Но то, как равенство было получено автором задачи изначально, понятнее не стало.

До смешно легко. Для получения таких равенств запишите что попало, типа
$3 = (5 - a) + (a -2) = \sqrt{(5-a)^2} + \dots$

[nnosipov]

Вот еще одно равенство такого же типа: $\sqrt{33+12\sqrt[3]{4}}-2\sqrt{12-6\sqrt[3]{2}}=3$.

-- Вс дек 15, 2024 22:13:23 --

TOTAL в сообщении #1665390 писал(а):

До смешно легко.

Не совсем: что-то типа тождества Рамануджана все равно понадобится.

[Утундрий]

nnosipov в сообщении #1665414 писал(а):

что-то типа тождества Рамануджана все равно понадобится.

Страсти какие

Тупо возводим $a+b \sqrt[3]{2}+c \sqrt[3]{4}$ в квадрат и подбираем $a, b, c$ так, чтобы впечатлить школьника.

[nnosipov]

Утундрий в сообщении #1665420 писал(а):

подбираем $a, b, c$ так, чтобы впечатлить школьника

Впечатлить --- это значит сделать так, чтобы под корнем оказались укороченные выражения $A+B\sqrt[3]{2}+C\sqrt[3]{4}$ (то есть, чтобы $B=0$ или $C=0$). Здесь придется подумать, как же выбирать такие $a$, $b$, $c$. В результате раздумий Вы придете к тождеству Рамануджана (или к чему-то эквивалентному). И вообще: нетривиальные тождества с радикалами на дороге не валяются.

[мат-ламер]

Можно танцевать от равенства $\sqrt{(a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4})^2}+$\sqrt{(d-b\sqrt[3]{2}-c\sqrt[3]{4})^2}=a+d (надо подобрать коэффициенты, чтобы выражения в круглых скобках были положительные) . Раскрываем квадраты скобок ...

-- Вс дек 15, 2024 19:55:08 --

nnosipov в сообщении #1665428 писал(а):

сделать так, чтобы под корнем оказались укороченные выражения

Я этот момент упустил. Надо посмотреть, что из этого следует.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1665437 писал(а):

Надо посмотреть, что из этого следует.

Из этого следует, что должна выполняться система из двух уравнений: $ab+c^2=0$ и $b^2=2dc$ (можно выписать ещё одну аналогичную систему). Общий способ нахождения всех целочисленных решений таких систем я не знаю. Но простое решение $a=2$, $b=-2$, $c=2$, $d=1$ нашёл быстро (уже не припомню как). Что и привело к равенству из первого поста.

[nnosipov]

Вот две функции

$$\sqrt{9x^2+2x-7-8\sqrt[3]{(x-1)(x+1)^2}} \pm \sqrt{9x^2-2x-7+8\sqrt[3]{(x-1)^2(x+1)}},$$

графики которых выглядят весьма забавно (они определены всюду и кое-где просто константы).