Устойчивость линейной независимости

[Padawan]

Пусть система векторов $\{v_1, \ldots, v_n\}$ в нормированном пространстве $X$ линейно независима. Докажите, что существует $\delta>0$ такое, что если $\|w_i-v_i\|<\delta$ для всех $i=1,\ldots, n$, то система векторов $\{w_1, \ldots, w_n\}$ также линейно независима.

Обобщение на топологические векторные пространства: Пусть система векторов $\{v_1, \ldots, v_n\}$ в топологическом векторном пространстве $X$ линейно независима. Докажите, что существует окрестность нуля $U$ такая, что если $w_i-v_i\in U$ для всех $i=1,\ldots, n$, то система векторов $\{w_1, \ldots, w_n\}$ также линейно независима.

[iifat]

Как понимаю, если взять $\{y_1,\dots y_n\}$ так что $y_1=x_1,\dots,y_i=x_i-\textrm{Пр}(x_i,y_1,\dots y_{i-1})$ (или как там обозначается проекция), получим $n$ взаимно перпендикулярных векторов, причём если система $\{x_1,\dots,y_n\}$ независима, все $y_i$ будут отличны от нулевого вектора (и наоборот). Минимальная длина как раз и будет таким $\delta$.

[Anton_Peplov]

В книге Александров, Пасынков. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973 эта теорема доказана для $\mathbb R^n$ (с. 193, предложение 2'). Вроде бы там все легко обобщается.

[drzewo]

По-моему, все тоже самое.
Рассмотрим топологическую прямую сумму $X=S\oplus Y,\quad S=\mathrm{span}\{v_i\};$ и $P:X\to S$ -- проектор.
Введем оператор

$$A:S\to S,\quad Ax=\sum_i(x,v_i')Pw_i,\quad (v'_i,v_j)=\delta_{ij},\quad v'_i\in S'$$

Имеем $A=E+B,\quad Bx=\sum_i(x,v'_i)(Pw_i-v_i).$$
Оператор $A$ обратим:

$$\|Bx\|=\|\sum_i(x,v'_i)(Pw_i-v_i)\|=\|\sum_i(x,v'_i)(Pw_i-Pv_i)\|\le \|w_i-v_i\| C\|x\|$$

Следовательно, векторы $Pw_i$ независимы, следовательно $w_i$ независимы

[Padawan]

iifat в сообщении #1663713 писал(а):

получим $n$ взаимно перпендикулярных векторов

В нормированном пространстве нет перпендикулярных векторов. Тем более в топологическом векторном. Но, вообще, да, в гильбертовом пространстве можно использовать определитель матрицы Грама: он равен нулю тогда и только, когда вектора линейно зависимы, и при этом непрерывно зависит от векторов.

Anton_Peplov в сообщении #1663716 писал(а):

Вроде бы там все легко обобщается.

Да нет, не обобщается. Там мы все время находимся в одном и том же конечномерном пространстве $\mathbb R^n$.

-- Чт дек 05, 2024 15:56:43 --

drzewo
А в ТВП можете доказать?

[drzewo]

непрерывность $P$: для любого $\varepsilon>0$ существует окрестность нуля $U$ такая, что

$$w_i-v_i\in U\Longrightarrow \|P(w_i-v_i)\|<\varepsilon$$

-- 05.12.2024, 15:18 --

я только теорему о дополняемости конечномерного пространства знаю только для ЛВП

[Padawan]

Одномерное в $L_p([0,1])$, $0<p<1$, не дополняемо (нет ни одного ненулевого непрпрерывного функционала, как и непустых открытых выпуклых множеств, отличных от всего пространства)

[drzewo]

Тогда я останавливаюсь на версии этой задачи для ЛВП:)

[vpb]

(Решение)

Как известно из первой главы Рудина, конечномерное подпространство всегда замкнуто. Поэтому для каждого $i=1,\ldots,n$ существует окрестность нуля $V_i$ такая, что $v_i+V_i$ не пересекается с $\langle v_j\mid j\ne i\rangle$. Возьмем окрестность $U$ столь малой, что $U+U+\ldots+U\subseteq V_i$ (сумма $n$ раз) для всех $i$, и покажем, что это то, что нужно. Пусть $w_i\in v_i+U$, для всех $i$. Допустим, что $w_i$ зависимы, и пусть $a_1w_1+\ldots+a_nw_n=0$ --- некоторая зависимость. Можно считать, что $a_1$ --- наибольшее по модулю из $a_i$. Разделим на него, получается зависимость вида $w_1+b_2w_2+\ldots+b_nw_n=0$, где все $|b_i|\leq1$. Значит, $v_1+b_2v_2+\ldots+b_nv_n\in U+\ldots+U\subset V_1$ --- а это не так.

[iifat]

Padawan в сообщении #1663721 писал(а):

В нормированном пространстве нет перпендикулярных векторов

Как это — нет? Вводим скалярное произведение $(a,b)=\frac12(\|(a+b)\|^2-\|a\|^2-\|b\|^2)$ — и получаем желаемую перпендикулярность, не?

[Anton_Peplov]

iifat в сообщении #1663770 писал(а):

Вводим скалярное произведение $(a,b)=\frac12(\|(a+b)\|^2-\|a\|^2-\|b\|^2)$

Разве для всякой нормы такая конструкция будет удовлетворять аксиомам скалярного произведения? Примерьте к норме в двумерном пространстве $||\mathbf v|| = |x| + |y|$, где $x, y$ - координаты вектора $\mathbf v$.

[skobar]

iifat в сообщении #1663770 писал(а):

Как это — нет? Вводим скалярное произведение $(a,b)=\frac12(\|(a+b)\|^2-\|a\|^2-\|b\|^2)$ — и получаем желаемую перпендикулярность, не?

Если бы это было так, то не нужно было бы огород городить и делать различия между нормированными (банаховыми) и гильбертовыми пространствами. Разумеется, в общем случае это не будет скалярным произведением. В случае пространств над полем комплексных чисел можно ввести скалярное произведение только при условии выполнения тождества параллелограмма (тогда скалярное произведение можно определить через тождество поляризации, теорема Нойманна-Йордана)

[iifat]

Anton_Peplov, skobar: Mea culpa.

[Padawan]

vpb
Надо еще сказать, что окрестность $U$ уравновешенная.

[Null]

Нужно взять такие окрестности нуля $U_i$ что $v_i+U_i$ не пересекается с $\operator{span}(\{v_1, \ldots, v_n\}/\{v_i\})$ и взять их пересечение.
А если таких окрестностей нет(Например в тривиальной топологии), то и утверждение не верно.