Цитата:
6. (В.Мыхайлюк) Множество

называется нигде не плотным, если внутренность его замыкания является пустым множеством. Множество

содержится в произведении

нигде не плотных в

множеств

и

. Может ли ортогональная проекция множества

на некоторую прямую совпадать со всей прямой?
Проекция ковра Серпинского ( конкретно -

, где

-обычный канторов дисконтинуум на отрезке) на

, интересно, пойдет?
Цитата:
1. (Т.Банах) а) Доказать, что каждый гомеоморфизм единичной окружности на себя продолжается до гомеоморфизма единичного диска на себя.
b) Доказать, что каждое топологическое вложение окружности в комплексную плоскость продолжается до вложения диска в .
Окружность же несжимаема, да?..

Собственно, для чего я это хотел - известно, что любые два отображения произвольного пр-ва в стягиваемое гомотопны, а если

гомотопно постоянному отображению, то

можно продолжить на

.
Видимо, тут другая какая-то алгебраико-топологическая идея.
Добавлено спустя 2 часа 26 минут 9 секунд:Цитата:
4. (И.Гуран) Пусть

— круг в плоскости

,

— его граничная окружность,

— непрерывное отображение круга в плоскость, являющееся тождественным на окружности

. Тогда

принимает все значения в

, т.е.

существует точка

такая, что

. Доказать.
Интересно.
Во-первых,

должен лежать "строго по одну сторону от"

, в противном случае - выкидываем

из

и

, в первом случае имеем линейно связанное множество, во втором - не связанное линейно,противоречие.
Во-вторых, допустим, что оно лежит вне

. Тут не уверен, но это должно быть невозможно - как точно доказать, не знаю. Может быть, нужно рассмотреть "внешнюю" границу и ее прообраз, проверить связанность, или как-то еще. Было бы интересно услышать правильный способ...
Т.е. должно получаться непрерывное отображение

, и, видимо, нужно точно так же рассмотреть внутреннюю точку из

, границу, и посмотреть на связанность.
