Определение определителя. Из алгебры в геометрию

[DariaRychenkova]

У меня есть странный вопрос.

Я видела в Винберге, как задают определитель матрицы изначально как площадь и объём, а уже потом делают вывод о его кососимметричности и полилинейности. После этого дают алгебраическое определение.


А можно ли как-то прийти из алгебраического определения (через перестановки) к тому, что он ещё и равен какой-то характеристике геометрической фигуры?

[Combat Zone]

Есть хорошее алгебраическое определение как $n$-линейной кососиметрической нормированной формы. С ним проще жить, но можно и показать, что оно равносильно определению через перестановки. После этого много чего становится очевидным.

[DariaRychenkova]

Combat Zone

Непонятно как от перестановок перейти к геометрии

-- 25.11.2024, 02:53 --

Винберг шел направо

А я хочу налево

[mihaild]

DariaRychenkova в сообщении #1662775 писал(а):

что он ещё и равен какой-то характеристике геометрической фигуры

А какое определение этой характеристики?

[Combat Zone]

DariaRychenkova в сообщении #1662780 писал(а):

А я хочу налево

Хотеть не вредно.
Не хотите хороших определений?
Однако, попыток решения у вас я тоже не вижу. Наверное, можно. А вы пробовали? Хотя бы при $n=2$?

[drzewo]

Посмотрел Винберга. Там, действительно, забавно. В параграфе 4 <<Определители>> он апеллирует, как я понял, к школьному знанию о том, что такое евклидово пространство, площади и объемы. Неудивительно, что у студентов возникают вопросы.

-- 25.11.2024, 06:15 --

Много ниже он дает индуктивное по размерности пространства определение объема параллелепипеда в $\mathbb{R}^m$, речь идет об объеме порожденном скалярным произведением.

-- 25.11.2024, 06:31 --

Что делают гладкие многообразия и группы Ли в курсе алгебпы?
Оригинальная книжка.

[dgwuqtj]

Конечно, тут всё упирается в определение объёма. Там, где это понятие вводят строго (например, в теории меры), формулу для объёма параллелепипеда через определитель как раз и доказывают.

[drzewo]

Автор обозначает через $K$ поле действительных или комплексных чисел. Потом появляется запись $(dx_1,\ldots,dx_n)\in K^n$
Безобразие.