Пары Лакса и уравнение КдВ

[DLL]

Читаю курс про интегрируемые системы и пары Лакса:
https://dept.math.lsa.umich.edu/~miller ... 51-W18.pdf

$$ L &= -6 \partial_x^2 - u(x,t), \\ B &= -4\partial_x^3 - u(x,t)\partial_x - \frac{1}{2} u_x(x,t). $$

Не могу понять эти самые операторы - они в каком пространстве действуют?

[gevaraweb]

DLL в сообщении #1662163 писал(а):

они в каком пространстве действуют?

Ну, например, в стандартном $C^\infty$

[Утундрий]

Ну, может там ещё какие-то тонкости. Но это пространство тех самых "волновых функций", которых "задача рассеяния". МОЗР как бы сидит на КМ.

[DLL]

В тексте у операторов производные обыкновенные (а не частные), это типа $L_2(0, l)$ на интервале?
А что такое оператор $u$ - умножение на функцию? А что такое тогда дифференцирование по времени если это $L_2$ на интервале?

[Red_Herring]

Не придумывайте. Считайте операторы на гладких функциях от $x$ на всей прямой и не озабочивайтесь об областях; операторы формальные. А $t$ это время .

[DLL]

Ну вот считается производная $dL / dt$.
В результате исчезает этот оператор $-6 \partial_x^2$?
Я этого формализма не очень понимаю.
Поэтому и спрашиваю в каком пространстве они действуют

[пианист]

DLL в сообщении #1662478 писал(а):

производная $dL / dt$.

Чуть ниже формула, из нее видно, в каком смысле это дело нужно понимать.

[VanD]

Там оператор $dL/dt$ определяется из правила Лейбница

$$ \dfrac{\partial (Lf)}{\partial t} = \dfrac{dL}{dt}f + L \dfrac{\partial f}{\partial t}\,, $$

которое должно выполняться для гладких $f(t, x)$. Соответственно, это приводит к определению $dL/dt = [\partial_t, L]$. А с учётом $dL/dt + [L, B] = 0$ на решениях КдВ, $ [B - \partial_t, L] = 0 $.
Ещё из-за линейности операторов можно сдвинуть $L$ на оператор умножения на константу $\lambda$ и получить

$$ [B - \partial_t, L - \lambda] = 0\,. $$

Но пару Лакса и с самого начала можно воспринимать как семейство систем вида

$$ L\psi = \lambda\psi,\qquad \psi_t = B\psi $$

на две зависимые переменные $u, \psi$. В этой конструкции изначальная роль $\psi$ не отличается от роли $u$.

[DLL]

VanD в сообщении #1662603 писал(а):

Соответственно, это приводит к определению $dL/dt = [\partial_t, L]$.

Так стоп! Если мы берем $L = u(x, t)$, то что получим

$$ du/dt + u d/dt? $$

[пианист]

$[\partial_t, u]\psi = \partial_t (u\psi) - u(\partial_t \psi) = u_t\psi + u{\psi}_t - u{\psi}_t = u_t\psi$,
откуда
$[\partial_t, u] = u_t$.

[DLL]

Спасибо! Теперь понятно.