Кирхгоф vs Зоммерфельд vs Фурье

[Alchemik]

Теория дифракции Кирхгофа, Зоммерфельда и угловой спектр.

Внимательно изучив скалярную теорию дифракции (http://optic.cs.nstu.ru/files/Lit/Optic/gudman.pdf)
так и не смог найти причин несовпадения соответствующих интегралов.
Упоминается что теорию можно использовать только при осторожном выборе функции Грина и поверхности интегрирования.
Тем не мение даже при осторожном выборе (поле задается на плоской поверхности XY, экран отсутствует) на большом расстоянии (KR>>1) с выполненным условием Зоммерфельда на излучение (поле спадает не медленние чем 1/R)
результаты отличаются.
Так например идея Зоммерфелда заключается в добавлении к исходной функции Грина второй сферической волны исходящей из точки зеркальной относительно плоскости XY, что устраняет необходимость одновременного задания поля и его производной по нормали на плоскости интегрирования XY. Однако эта математически (казалось бы) точная процедура приводит к отличающемуся от Кирхгофа результату.
Коэффициенты наклона не совпадают.
Мой первый вопрос: где причина расхождения?

Второй вопрос касается сравнения с угловым спектром, то есть с Фурье преобразованием.
Очевидно, что на больших расстояниях в точке P0=(X0,Y0,Z0) поток энерги поля в некотором телесном угле d$\Omega$ должен совпадать с потоком энерги углового спектра для соответствующей площади dKxdKy,
то есть для R стремящегося к бесконечности:

$$U^*(X0,Y0)U(X0,Y0)dX0dY0/\cos\gamma=U^*(Kx,Ky)U(Kx,Ky)dKxdKy$$

где R радиус сферы где находится точка P0
Kx, Ky компоненты волнового вектора с длинной K.
$\cos\gamma=Z0/R$ (он же коэффициент наклона в интегралле Зоммерфельда).
$dS=dX0dY0/\cos\gamma$- элемент площади на сфере радиуса R

Заменяя dX0 и dY0 на RdKx/K и RdKy/K получаем переход от интенсивности в пространстве X0,Y0,Z0
к интенсивности углового спектра:

$$U^*(Kx,Ky)U(Kx,Ky)= \frac{R^2}{K^2}U^*(X0,Y0,Z0)U(X0,Y0,Z0)\frac{1}{\cos\gamma}$$

Однако в интеграле для U(X0,Y0,Z0) уже присутствует в качестве сомножителя $\cos\gamma$

и таким образом $\frac{\cos\gamma\cos\gamma}{\cos\gamma}=\cos\gamma$ то есть $\cos\gamma$ ухитряется просочится в интенсивность углового спектра в пространстве волновых векторов,
где его быть не должно.
Что здесь не так?
Почему обе теории предсказывают по сути одинаковое поведение дифрагированного поля в дальней зоне только при умеренных углах дифракции?

Есть статья
E. Wolf and E. W. Marchand, "Comparison of the Kirchhoff and the Rayleigh–Sommerfeld Theories of Diffraction at an Aperture," J. Opt. Soc. Am. 54, 587-594 (1964)
в анотации которой данная проблема характеризуется как "хорошо известное математическое противоречие".

Как известно в основе скалярной теории лежит теорема Грина которая выполняется при условии непрерывности функций и их первых и вторых производных. Однако для функции Грина это условие в точке P0 не выполняется.
Однако именно это и позволяет предельным переходом (или используя дельта функцию) получить интеграл Кирхгофа.
Что касается влияния экрана, то это важно для дифракции на отверстии, но поле может быть задано и без экрана на всей плоскости XY.

В формулах переменные X,Y относятся к плоскости S где задано поле (Зоммерфельд) и его производная по нормали (Кирхгоф)
Переменные X0, Y0, Z0 это точка P0 для которой считаются интегралы
R-расстояние от точки P0 до точки X,Y,(Z=0)

[Alchemik]

Кажется нашел ответ на свой второй вопрос о расчете поля в дальней зоне.
Здесь все до смешного просто.
Интегральная теорема Гельмгольца-Кирхгофа позволяет получить поле в точке P0 через интеграл по замкнутой поверхности, окружающей эту точку. Для получения интеграла Кирхгофа поверхность разбивают на входную часть, где определено поле, и бесконечно большую часть сферы окружающую точку P0. Показывается что интегрирование по сфере стремится к нулю при условии что выполнено "условие излучения Зоммерфельда" то есть поле спадает на бесконечности не медленнее чем 1/R.
Следовательно можно оставить интеграл только по входной поверхности.
Однако интеграл по входной поверхности тоже стремится к нулю в дальней зоне!
Поэтому при расчете поля в дальней зоне отбрасывать интегрирование по части сферы нельзя,
даже при выполнении условия излучения Зоммерфельда.

-- 21.11.2024, 13:07 --

Важное добавление.
Интеграл по части сферы спадает со скоростью 1/R, то есть так же как и интеграл по входной поверхности в дальней зоне.
Поскольку скорости спадания одинаковы надо учитывать оба вклада.