Вопрос про ряды типа sin(nx)/n

[DariaRychenkova]

Пример. Пусть $b_n \downarrow 0$ при $n \longrightarrow \infty$. Тогда $\sum_{n=1}^{\infty} \sin (n x) b_n$ сходится.

Доказательство.
При $x=m \pi, m \in \mathbb{Z}$ - очевидно. Пусть

$$x \neq m \pi, m \in \mathbb{Z}$$ $\sin \left(\frac{x}{2}\right) \sum_{n=1}^k \sin (n x)=\sum_{n=1}^k \sin (n x)\cdot \sin \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^k\left[\cos \left(n-\frac{1}{2}\right) x-\cos \left(n+\frac{1}{2}\right) x\right]=\frac{1}{2}\left[\left(\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{3 x}{2}\right)+\ldots+\left(\cos \left(k-\frac{1}{2}\right) x$ $-\cos \left(k+\frac{1}{2}\right) x\right)\right]]$.

В итоге: $\left|\sum_{n=1}^k \sin (n x)\right| \leqslant \frac{1}{2} \frac{\left|\cos \frac{x}{2}\right|+\left|\cos \left(k+\frac{1}{2}\right) x\right|}{\sin \frac{x}{2}} \leqslant \frac{1}{\sin \frac{x}{2}}=C(x)$.


Мой вопрос:
А почему для ограниченности модуля частичной суммы ряда $\sum_{n=1}^{k} \sin (n x) $ нам не достаточно ограничить её числом $k$?

Почему нужно раскладывать на сумму и ограничивать синусом половинного угла?
------------------------------------------------------------------------------------

Признак Дирихле. Пусть $a_n \in \mathbb{C}, b_n \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, b_n \downarrow 0$ по $n$ и $\exists$ $C$ $>0$:$\left|\sum_{n=1}^k a_n\right| \leqslant C, \forall k \in \mathbb{N}$. Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ сходится.
Замечание. Признак Лейбница следует из теоремы (Признак Дирихле).

[Combat Zone]

DariaRychenkova в сообщении #1661717 писал(а):

Почему нужно раскладывать на сумму и ограничивать синусом половинного угла?

Хоть чем ограничивайте. Но ограничивать числом $k$ - это не про ограниченность.
Последовательность $A_k=k$ (в данном случае из частичных сумм) ограниченной не является.
Вопрос не ясен. Может, вы забываете, что кванторам небезразлично, на каких местах стоять?

[mihaild]

DariaRychenkova в сообщении #1661717 писал(а):

А почему для ограниченности модуля частичной суммы ряда $\sum_{n=1}^{k} \sin (n x) $ нам не достаточно ограничить её числом $k$?

Потому что константа должна быть общая для всех $k$. Иначе подошел бы просто любой ряд.

(Оффтоп)

А всё потому что в мат. анализе традиция писать кванторы вокруг формулы. Это не к Вам претензия, а просто возмущение сложившимся порядком.
Вот если бы было написано $\exists C > 0 \forall k \in \mathbb N: \ldots$, то таких вопросов бы не возникало.

[drzewo]

mihaild в сообщении #1661720 писал(а):

Вот если бы было написано $\exists C > 0 \quad\forall k \in \mathbb N: \ldots$, то таких вопросов бы не возникало.

Проверим.
DariaRychenkova
объясните своими словами, чем отличается $\exists C > 0\quad \forall k \in \mathbb N: \ldots$
от $ \forall k \in \mathbb N \quad \exists C > 0: \ldots$

[DariaRychenkova]

mihaild


А
Супер
Я поняла

Как раз то, что я не понимала

-- 17.11.2024, 17:19 --

drzewo
Спасибо