Прямое доказательство ВТФ для p=37. Существует ли?

[SomePupil]

Вопрос вынесен в заголовок. ВТФ для простых степеней $x^p+y^p=z^p.$

Степень $p=37$ интересна тем, что это наименьшее нерегулярное простое число. Когда $p\,|\,z^p$ (так называемый второй случай теоремы Ферма) $x^p+y^p = \prod\limits_{j=0}^{p-1}\langle x+\zeta^{j}y\rangle\, | \, l_0 \cdots l_{p-1}\,$ где $l_j = a_j^{p}$ ($p$-ая степень идеала $a_j$), где $(a_j a_0^{-1})^p\;-$ главный идеал в $\mathbb Q(\zeta_p)$. Последнее выводится легко. Но в доказательстве Куммера важно, чтобы $a_j a_0^{-1}$ само было главным идеалом в $\mathbb Q(\zeta_p).$ В случае, когда $p$ регулярно и таким образом не делит порядок группы класса идеалов, автоматически получаем, что $a_j a_0^{-1} = \langle \frac{\alpha_j}{\beta_j}\rangle.$ Но для $p=37$ последнее, вообще говоря, неочевидно и не факт, что правда. Впрочем, ничто также не мешает $a_j a_0^{-1}$ лежать вне $p$-кручения и быть главным идеалом даже в этом случае. В связи с этим два вопроса:

а) Является ли все-таки $a_j a_0^{-1}$ главным идеалом в $\mathbb Q(\zeta_{37})$? Если да, то доказательство для $p=37$ можно провести буквально как для регулярных $p$.

б) Существует ли прямое доказательство ВТФ для $p=37,$ не апеллирующее к указанным главным идеалам, а использующее возможно какие-то специальные свойства поля $\mathbb Q(\zeta_{37})$?

Обозначения я взял из презентации (правда, там идеалы набраны готикой)
Luca Ferrigno. Kummer’s proof of Fermat’s Last Theorem forregular primes, 2020.
Легко гуглится.

-- 12.11.2024, 17:02 --

Если для первой степени никакого вывода сделать не удается, можно рассмотреть более высокие степени $p,$ если хотя бы для одной из них имеем главный идеал, доказательство можно адаптировать и для $p=37.$ Можно было бы рассмотреть даже бесконечную башню вложенных полей, соответствующих $p^n.$

P.S. Точно! Что же это я велосипед изобретаю?! Это уже делал Кенкичи Ивасава : Iwasawa theory.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Великая теорема Ферма»
Причина переноса: тематика.