Подскажите или помогите решить интеграл

[AleksandrIvanovich]

Добрый день уважаемы знатоки интегрального исчисления. В процессе решения задачи о взаимодействии распределенной зарядовой плотности с сферическим зарядом, я получил достаточно странное интегральное выражение. Решение задачи я сформулировал через мультипольное разложение зарядовой плотности на элементарные заряды $ \ dQ=( \rho(r_2) \)*dV $, каждый такой элементарный объем зарядовой плотности действует на заряд $Q_1$, для упрощения задачи, я принял, что весь заряд $Q_1$ не распределен по всему объему сферы или поверхности сферы $S(R_1)$, а сосредоточен в ее центре, то есть рассматривается взаимодействие распределения зарядовой плотности с точечным зарядом $Q_1 $ Расстояние от каждого элементарного заряда до заряда$ Q_1$ соответственно равно радиус вектору $r_1$ от центра заряда$ Q_1 $до элементарного заряда $dQ$. При этом распределение зарядовой плотности ограниченно поверхностью сферы R_1. Данное допущение не применимо для решения с помощью теоремы Гаусса, но для мультипольного разложения допустимое приближение.


Краткая постановка задачи:

Мне необходимо найти полную силу, действующую на заряд $\( Q_1 \)$со стороны сферически симметрично распределённой зарядовой плотности центр которой расположен на расстоянии вектора $\( \vec{D} \)$ от начала координат в системе $\( r_1 \)$, в системе координат $r_2$ с началом в центре симметрии распределения зарядовой плотности, распределение плотности задано зависимостью $\( \rho(r_2) = \frac{Q_2 R_2}{r_2^4} \)$ где $\( r_2 \geq R_2 \). $

Плотность$ \( \rho(r_2) \) $описывает распределение зарядов, которое начинается от радиуса$ \( R_2 \)$ и продолжается до бесконечности. В данной задаче я буду последовательно переводить элементы задачи в систему координат $\( r_1 \)$, где находится заряд $\( Q_1 \)$, и вычислю полную силу, действующую на него.

Решение:

1. Формулировка зарядовой плотности $\( \rho(r_1) \)$ в системе координат$ \( r_1 \)$:

Поскольку распределение зарядов задано в системе $\( r_2 \)$ как $\( \rho(r_2) = \frac{Q_2 R_2}{r_2^4} \) для \( r_2 \geq R_2 \)$, для перехода к системе $\( r_1 \)$ мне нужно учесть смещение на вектор $\( \vec{D} \):$

$ \[ \vec{r}_1 = \vec{r}_2 + \vec{D}. \]$

Тогда зарядовая плотность в системе$ \( r_1 \)$ становится зависимой от $\( \vec{D} \)$:

$\[ \rho(r_1) = \frac{Q_2 R_2}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4}. \]$

2. Формулировка элементарного заряда $\( dQ \)$ в системе координат$ \( r_1 \)$:

Элементарный заряд $ \( dQ \)$ в системе $\( r_1 \)$ можно выразить через плотность $\( \rho(r_1) \)$ и элемент объема $\( dV_{r_1} \)$:

$ \[ dQ = \rho(r_1) \, dV_{r_1} = \frac{Q_2 R_2}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4} \, dV_{r_1}, \]$

где$ \( dV_{r_1} \)$ — это элемент объема в сферических координатах и задается как $\( dV_{r_1} = r_1^2 \sin \theta \, dr_1 \, d\theta \, d\phi \)$.

3. Формулировка элементарной силы $\( d\vec{F} \)$, действующей со стороны $\( dQ \) на \( Q_1 \)$:

По закону Кулона сила, действующая на заряд $\( Q_1 \)$ со стороны элементарного заряда $\( dQ \)$, равна:

$ \[ d\vec{F} = \frac{Q_1 \, dQ}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\vec{r}_1}{|\vec{r}_1|^3}. \]$

Подставляю выражение для $\( dQ \)$ из предыдущего шага:

$ \[ d\vec{F} = \frac{Q_1 \, Q_2 R_2}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4} \cdot \frac{\vec{r}_1}{|\vec{r}_1|^3} \, dV_{r_1}. \]$

4. Формулировка интеграла полной силы $\( \vec{F}_{\text{total}} \)$, действующей со стороны зарядового распределения на $ \( Q_1 \)$ в системе $ \( r_1 \)$:

Чтобы вычислить полную силу $\( \vec{F}_{\text{total}} \)$, действующую на заряд $\( Q_1 \)$ со стороны всего распределения зарядов, интегрирую $\( d\vec{F} \)$ по всему объему, начиная с радиуса$ \( R_1 \)$:

$\[ \vec{F}_{\text{total}} = \int_{V_{r_1}} d\vec{F} = \int_{R_1}^{\infty} \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{Q_1 \, Q_2 R_2}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4} \cdot \frac{\vec{r}_1}{|\vec{r}_1|^3} \, r_1^2 \sin \theta \, d\phi \, d\theta \, dr_1. \]$

5. Упрощение интеграла:

После подстановки выражения для $ \( dV_{r_1} \)$ и сокращения множителей $\( r_1^2 \)$ в числителе и знаменателе, интеграл принимает вид:

$\[ \vec{F}_{\text{total}} = \frac{Q_1 \, Q_2 R_2}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{R_1}^{\infty} \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\vec{r}_1 \sin \theta}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4 \, r_1} \, d\phi \, d\theta \, dr_1. \]$

Получилось, что подынтегральное выражение силы действующей со стороны зарядовой плотности на заряд зависит от угла между векторами $\( \vec{D} \)$ и $\( \vec{r_1} \)$, что в принципе логично, этот интеграл вообще можно вычислить аналитически и найти полную результирующую силу действующую на заряд со стороны распределения зарядовой плотности или этот интеграл не поддается аналитическому решению? Помогите разобраться, возможно я не корректно сформулировал задачу, если кто сталкивался подобными интегралами, подскажите. Спасибо
По данной ссылке находится изображение поставленной задачи:
https://drive.google.com/file/d/1gb3UUqLoA_J4ovrnLbC9n7URjbDzuOQD/view?usp=drive_link

[AleksandrIvanovich]

Ссылка на изображение поставленной задачи
https://drive.google.com/file/d/1gb3UUq ... sp=sharing

[AleksandrIvanovich]

[Евгений Машеров]

Если мы находимся внутри равномерно заряженной сферы - сила на наш пробный заряд не действует. Если мы за её пределами - сферу можно заменить точечным зарядом в центре.

[iifat]

AleksandrIvanovich в сообщении #1660881 писал(а):

этот интеграл вообще можно вычислить аналитически

Ну, по идее, да, хотя я б таки вычислял в системе 2. Да и переход в сферическую систему там будет, как по мне, попроще.

Евгений Машеров в сообщении #1660944 писал(а):

Если мы находимся внутри равномерно заряженной сферы

Собственно, эти выводы именно таким способом и сделаны, так что интегралы должны браться.

[Евгений Машеров]

Заменяем каждый сферический слой эквивалентным зарядом в центре шара и интегрируем от $R_2$ до $r_1$

[AleksandrIvanovich]

Евгений Машеров в сообщении #1660952 писал(а):

Заменяем каждый сферический слой эквивалентным зарядом в центре шара и интегрируем от $R_2$ до $r_1$

Добрый день, Так это записано в условии задачи, что мы аппроксимируем объемный заряд сферы точечным зарядом в ее центре. При такой аппроксимации применять теорему Гаусса нельзя, так как она дает напряжённость для поля на поверхности внутри которой находится некий заряд, но у нас ситуация обратная, чрез нее можно посчитать напряженность поля создаваемого точечным зарядом в центре сферы на ее поверхности, но посчитать напряженность поля создаваемого зарядовой плотность в внутри сферы R_1 нельзя. В некотором смысле задача вывернута "на изнанку", мы имеем распределение заряда во всем пространстве за пределами сферы S(R_1) по идее, что бы найти напряженность поля на поверхности сферы, нужно представить что вся область за пределами сферы R_1 это объем в котором находится заряд, а область внутри сферы единственная область где этого заряда (от зарядовой плотности) нет, но такое применение теоремы Гаусса, на сколько я понимаю мягко говоря не корректно, для этого она не предназначена, то есть мы должны проинтегрировать по всему объему где есть заряд - от поверхности сферы S(R_1) до бесконечности. Теореме Гаусса помогает найти напряжённость поля на поверхности внутри которой находится заряд, здесь ситуация обратная заряд находится везде за пределами поверхности S(R_1). Интуитивно понятно, что положительная зарядовая плотность с таким распределением, будет втягивать отрицательный заряд в область более высокой плотности и напряженность поля создаваемая зарядовой плотностью на поверхности сферы S(R_1) не будет равна нулю, она будет равна нулю на поверхности S(R_1-dr). При решении задачи через "вывернутую" теорему Гаусса, необходимо учитывать что на поверхности заряженной сферы будет некий поверхностный заряд если он распределен равномерно по всему объему сферы или что весь заряд Q_1 размещен равномерно на ее поверхности, повторюсь, допущение, что он точечный и находится в центре сферы, это приближение допустимо только для мультипольного разложения поля создаваемого зарядовой плотностью

[iifat]

AleksandrIvanovich в сообщении #1660959 писал(а):

Добрый день

Добрый. Дальнейший текст, простите вам заметить, не страдает чрезмерной (по правде говоря, никакой не страдает) связностью, право же, вам стоит попробовать переформулировать. Напомню на всякий случай, что по правилам формулы, даже самые простые, $S(R_1)$, например, должны оформляться именно так.
Как понимаю, Евгений Машеров предложил вам представить ваше поле как суперпозицию равномерно заряженных сфер, что даёт вместо тройного интеграла одинарный.

[AleksandrIvanovich]

Евгений Машеров в сообщении #1660952 писал(а):

Заменяем каждый сферический слой эквивалентным зарядом в центре шара и интегрируем от $R_2$ до $r_1$

Добрый день еще раз Евгений. Я не совсем понял в какой системе координат, вы предлагаете разбить зарядовую плотность на сферические слои? Если в системе отсчета $r_2$, то интегрирование по этим слоям даст то же самый объемный интеграл. Не совсем понял, что значит интегрирование от $R_2$ до $r_1$, $R_2$ это радиус сферы $S(R_2)$, а $r_1$ это радиус вектор в первой системе координат, возможно я не совсем понял Вашу терминологию, но что Вы имели в виду в качестве верхнего предела интегрирования и в какой системе координат Вы предлагаете выполнять интегрирование по сферическим слоям?

-- 09.11.2024, 18:36 --

iifat в сообщении #1660989 писал(а):

Как понимаю, Евгений Машеров предложил вам представить ваше поле как суперпозицию равномерно заряженных сфер, что даёт вместо тройного интеграла одинарный.

Не все так просто как кажется. В системе отсчета $r_2$, каждая сфера будет равномерно заряжена, интегрирование по поверхностям сфер зарядовой плотности даст ни что иное как тот же самый объемный интеграл, к тому же у нас задана объемная плотность, а не поверхностная, а переход от объемной плотность к поверхностной еще та задачка.
В системе отсчета $r_1$ на каждой сфере с центром в начале координат этой системы, распределение зарядовой плотности не будет равномерным, так как центр сферической симметрии распределения зарядовой плотности сдвинут на вектор $\vec{D}$ относительно начала системы координат $r_1$.
Конечно я первое, что попытался, это решить задачу через эквивалентный заряд, зарядовой плотности, просто просуммировать весь объемный заряд относительно центра ее сферической симметрии в системе отсчета $r_2$, что в итоге даст $Q_2$, для заряда $Q_1$ не будет эквивалентным зарядом, это будет просто полным зарядом зарядовой плотности, без учета взаимного расположения объемного распределения зарядовой плотности и заряда $Q_1$, а в этой задаче с объемным распределением плотности имеет значение в первую очередь "геометрия", что легко понять в простом мысленном эксперименте: если в центре заряда $Q_1$, построить плоскость перпендикулярную вектору $\vec{D}$, весь объем зарядовой плотности расположенный со стороны центра сферической симметрии зарядовой плотности до этой воображаемой поверхности будет создавать электростатическую силу в направлении центра симметрии зарядовой плотности, а распределение зарядовой плотности с другой стороны этой поверхности будет создавать силу в противоположном направлении, таким образом понятно, что интеграл по объему от распределения зарядовой плотности от $R_2$ до бесконечности в системе отсчета $r_2$, не будет эквивалентным зарядом для сферического заряда $Q_1$
Интегрирование зарядовой плотности относительно системы отсчета $r_1$, тоже не будет эквивалентным зарядом, так как этот интеграл не будет учитывать "геометрию" распределения зарядов относительно центра S(R_1).
В мультипольном разложении элементарной силы $\vec{F}(\vec{r}_1)$ действующей на заряд $Q_1$ со стороны элементарного заряда зарядовой плотности, $dQ(r_1)=\rho(r_1)*dV(r_1)$, учитываетcя направление силы, которая будет направлена в направлении вектора $\vec{r}_1$, соединяющего соответственно центр заряда $Q_1$ и элементарный заряд $dQ(r_1)$
Через эквивалентный заряд наверное можно решить эту задачу, но для каждого $D$, должен быть свой эквивалентный заряд $Q_equiv$ создаваемый зарядовой плотность в центре сферической симметрии зарядовой плотности. Но методологию как сформулировать задачу для нахождения этого эквивалентного заряда, я пока не понимаю, если подскажете, буду очень признателен.

[iifat]

AleksandrIvanovich в сообщении #1661031 писал(а):

интегрирование по поверхностям сфер зарядовой плотности даст ни что иное как тот же самый объемный интеграл

Вы про полный интеграл? Естественно, он будет трёхмерным. Интеграл по конкретной сфере? С чего б вдруг интегралу по двумерной поверхности быть трёхмерным? Как минимум, такой финт даёт вам разбиение тройного интеграла на двойной и обычный, притом что двойной для вас Евгений Машеровуже взял.

AleksandrIvanovich в сообщении #1661031 писал(а):

переход от объемной плотность к поверхностной еще та задачка

Та — какая именно? Переход от объёмной к поверхностной по поверхности уровня — вовсе, по-моему, не «та».

AleksandrIvanovich в сообщении #1661031 писал(а):

В системе отсчета $r_2$, каждая сфера будет равномерно заряжена

Ну и изачем вы многократно указываете систему? Сфера с указанным центром и радиусом будет равномерно заряжена зарядом, зависящим от радиуса — в любой системе.

[Евгений Машеров]

AleksandrIvanovich в сообщении #1661031 писал(а):

Добрый день еще раз Евгений. Я не совсем понял в какой системе координат, вы предлагаете разбить зарядовую плотность на сферические слои? Если в системе отсчета $r_2$, то интегрирование по этим слоям даст то же самый объемный интеграл. Не совсем понял, что значит интегрирование от $R_2$ до $r_1$, $R_2$ это радиус сферы $S(R_2)$, а $r_1$ это радиус вектор в первой системе координат, возможно я не совсем понял Вашу терминологию, но что Вы имели в виду в качестве верхнего предела интегрирования и в какой системе координат Вы предлагаете выполнять интегрирование по сферическим слоям?

Центр координат в центре сферы с радиусом $R_2$. Рассматриваем объёмный заряд, как распределённый по сферам радиуса r, меняющегося от $R_2$ до бесконечности. Сила, действующая на пробный заряд со стороны такой заряженной элементарной сферы, равна силе точечного заряда в центре сферы, если пробный заряд вне сферы, и нулю, если внутри. Задача сводится к расчёту суммарного заряда элементарной сферы радиуса r и интегрирования его от радиуса "центральной сферы" до расстояния от центра симметрии до пробного заряда.

[AleksandrIvanovich]

Евгений Машеров в сообщении #1661067 писал(а):

Центр координат в центре сферы с радиусом $R_2$. Рассматриваем объёмный заряд, как распределённый по сферам радиуса r, меняющегося от $R_2$ до бесконечности. Сила, действующая на пробный заряд со стороны такой заряженной элементарной сферы, равна силе точечного заряда в центре сферы, если пробный заряд вне сферы, и нулю, если внутри. Задача сводится к расчёту суммарного заряда элементарной сферы радиуса r и интегрирования его от радиуса "центральной сферы" до расстояния от центра симметрии до пробного заряда.

Спасибо Евгений, я Вашу идею понял, если принимать заряженную сферу $S(R_1)$ как точечный заряд $Q_1$ в центре этой сферы, тогда если бы распределение зарядовой плотности в системе отсчета $r_2$, начиналось не с $R_1$, а с $r_2=D$, где $D$ расстояние от центра симметрии зарядовой плотности до $Q_1$, то согласно теоремы Гаусса, поток напряженности электрического поля создаваемой таким распределение плотности на поверхности сферы S(D) будет равен нулю, таким образом распределение плотности за пределами $r_2>D$, в нашей задаче не будет взаимодействовать с зарядом $Q_1$, задача сводится к определению потока напряженности электрического поля на границе сферы $S_r_2(D)$, что по той же теореме Гаусса и сводится к определению заряда зарядовой плотности внутри сферы $S_r_2(D)$ и создаваемое этим зарядом потока напряжённости электрического поля на поверхности сферы S(D)

В данной задаче задано сферически симметричное распределение зарядовой плотности:
$\[ \rho(r_2) = \frac{Q_2 R_2}{r_2^4} \]$
Имеется заряд $\( Q_1 \)$, расположенный на расстоянии $\( D \)$ от центра симметрии этого распределения. Требуется найти силу $\( F(D) \)$, с которой распределение зарядовой плотности взаимодействует с зарядом $\( Q_1 \)$, в зависимости от расстояния$ \( D \)$.

Решение:

1. Определяю полный заряд $\( Q_{\text{вн}} \)$ внутри сферы радиуса$ \( D \):$

В силу сферической симметрии я могу использовать объемный интеграл для определения заряда внутри сферы:

$ \[ Q_{\text{вн}} = \int_{R_2}^{D} \rho(r_2) \, dV = \int_{R_2}^{D} \rho(r_2) \cdot 4\pi r_2^2 \, dr_2 \]$

Подставляю выражение для $\( \rho(r_2) \):$

$ \[ Q_{\text{вн}} = \int_{R_2}^{D} \left( \frac{Q_2 R_2}{r_2^4} \right) \cdot 4\pi r_2^2 \, dr_2 = 4\pi Q_2 R_2 \int_{R_2}^{D} \frac{1}{r_2^2} \, dr_2 \]$

Вычисляю интеграл:

$\[ \int_{R_2}^{D} \frac{1}{r_2^2} \, dr_2 = \left[ -\frac{1}{r_2} \right]_{R_2}^{D} = -\frac{1}{D} + \frac{1}{R_2} \]$

Таким образом, полный заряд внутри радиуса \( D \) составляет:

$\[ Q_{\text{вн}} = 4\pi Q_2 R_2 \left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{D} \right) = 4\pi Q_2 \left( 1 - \frac{R_2}{D} \right) \]$

2. Нахожу напряженность электрического поля$ \( E(D) \)$ на расстоянии $\( D \)$:

Согласно закону Гаусса, напряженность электрического поля для сферически симметричного распределения можно выразить через полный заряд внутри сферы радиуса$ \( D \)$:

$\[ E(D) \cdot 4\pi D^2 = \frac{Q_{\text{вн}}}{\varepsilon_0} \]$

Отсюда:

$\[ E(D) = \frac{Q_{\text{вн}}}{4\pi \varepsilon_0 D^2} \]$

Подставляю значение$ \( Q_{\text{вн}} \)$:

$\[ E(D) = \frac{4\pi Q_2 \left( 1 - \frac{R_2}{D} \right)}{4\pi \varepsilon_0 D^2} = \frac{Q_2}{\varepsilon_0 D^2} \left( 1 - \frac{R_2}{D} \right) \]$

3. Определяю силу $\( F(D) \)$, действующую на заряд $\( Q_1 \)$:

Сила, действующая на заряд $\( Q_1 \),$ определяется произведением заряда $\( Q_1 \)$ и напряженности поля$ \( E(D) \)$:

$\[ F(D) = Q_1 E(D) = Q_1 \cdot \frac{Q_2}{\varepsilon_0 D^2} \left( 1 - \frac{R_2}{D} \right) = \frac{Q_1 Q_2}{\varepsilon_0 D^2} \left( 1 - \frac{R_2}{D} \right) \]$

Ответ:

Таким образом, сила взаимодействия$ \( F(D) \)$ между зарядом $\( Q_1 \)$ и распределением зарядовой плотности выражается формулой:

$\[ F(D) = \frac{Q_1 Q_2}{\varepsilon_0 D^2} \left( 1 - \frac{R_2}{D} \right) \]$

Где:

- $\( \varepsilon_0 \) $— электрическая постоянная.
-$ \( D \) $— расстояние от центра сферической симметрии до заряда $\( Q_1 \)$.
- $\( R_2 \) $— параметр из исходного выражения для зарядовой плотности $\( \rho(r_2) \)$.