Где прочесть про числ.реш. обычных функциональных ур-й?

[Igor_Dmitriev]

Есть произвольное функциональное уравнение без производных, например, такое: $y_{n} = y_{n-1} + \sin(y_{n-2}) + \frac{1}{1+\ln^2(y_{n-3})} + e^{-y_{n-4}}$

$\left\{ \begin{array}{rcl} y_{0}=a_{0} \\ y_{1}=a_{1} \\ y_{2}=a_{2} \\ y_{3}=a_{3} \\ \end{array} \right.$

Здесь $y$ - это непрерывная функция, заданная через рекурентное соотношение.
Как такие крокодилы решать численно, где про это можно прочесть и есть ли для этого функции и команды в Matlab? Есть ли методы для тех случаев, когда начальные и граничные условия будут определены в дробных или иррициональных точках, а не в $0, 1, 2, 3$? Гугление дало либо решение частных случаев функциональных уравнений, либо уравнение с производными. Гугление для Matlab даёт решение обычных уравнений.
Может, плохо гуглю.

[dgwuqtj]

У вас в уравнении $n$ — это вещественное число, что ли? Чтобы его решать численно, надо знать $y$ не только в четырёх точках, а сразу на полуинтервале $[0, 4)$. Причём начальные значения — это непрерывная функция с дополнительным условием $\lim_{n \to 4{-}} y_n = y_3 + \sin(y_2) + \frac 1 {1 + \ln^2 (y_1)} + e^{-y_0}$. Ну и ещё надо гарантировать существование решения на интересующем вас промежутке, чтобы логарифмы были определены. В такой общности вряд ли есть алгоритмы лучше, чем просто вычисление значений на сетке по определению.

[Igor_Dmitriev]

dgwuqtj в сообщении #1661042 писал(а):

У вас в уравнении $n$ — это вещественное число, что ли? Чтобы его решать численно, надо знать $y$ не только в четырёх точках, а сразу на полуинтервале $[0, 4)$.

$n$ — это целое число, но также интересны те случаи, когда $n$ может принимать вещественные значения. Если известен полуинтервал, то потом можно построить функцию в других точках. Я почему-то считал, что для подобных крокодилов достаточно задать конечное число нужных точек. Само собой, если решение корректно и если под знаками корней и логарифмов не появляются минусы.

[Igor_Dmitriev]

dgwuqtj в сообщении #1661042 писал(а):

У вас в уравнении $n$ — это вещественное число, что ли? Чтобы его решать численно, надо знать $y$ не только в четырёх точках, а сразу на полуинтервале $[0, 4)$.

Ещё вспомнил, что для уравнения $y_{n}=k\cdot y_{n-1}$ и $y_{n}=\frac{y_{n-1} + y_{n-2}}{2}+1.5\cdot a$ достаточно знать значения функций в отдельных точках, в соответствующих интервалах необходимости нет.

[dgwuqtj]

Для $y_n = k y_{n - 1}$ как раз недостаточно, это же $y_n = k^n f(n)$ для произвольной 1-периодической функции $f$.

[Igor_Dmitriev]

В любом случае, есть решения без задания целых интервалов в качестве НУ и ГУ. Да, решений бесконечно много, но интервалы нужны разве что для определения периодической функции, которая возникает при однородности. Мне кажется, в случае крокодилов они не нужны. Представьте, что вы разложили ЛЧ и ПЧ в ряд Тейлора и сравниваете коэффициенты при одних и тех же степенях $x$, после чего, найдя коэффициенты, строите функцию на любом определённом интервале. Вам не надо для этого знать целый интервал.

[Igor_Dmitriev]

Конечно, ряд Тэйлора - не самое убедительное доказательство, решений может быть бесконечно, что показывает пример функции $y_{n}=k\cdot y_{n-1}$ с бесконечным числом решений $y_n = k^n f(n)$ .
Всё же мне по-прежнему кажется, что у немалого числа запутанных неоднородных бесконечно дифференцируемых (кроме отдельных точек) крокодилов число решений конечно.
Нужно понять, как построить численное решение, неужели ни в какой литературе не рассмотрен этот вопрос?

[dgwuqtj]

Igor_Dmitriev в сообщении #1661216 писал(а):

Всё же мне по-прежнему кажется, что у немалого числа запутанных неоднородных бесконечно дифференцируемых (кроме отдельных точек) крокодилов число решений конечно.

Быть того не может. Берёте стандартную "шапочку" с носителем в $[0, 1]$ и продолжаете вашим крокодилом вправо. А шапочек можно придумать континуальное количество.

Вот если вещественную аналитичность потребовать, то непонятно, есть ли хоть одно решение.

[Igor_Dmitriev]

dgwuqtj в сообщении #1661222 писал(а):

Быть того не может.

Почему? У некоторых функциональных уравнений единственное решение, правда, они выглядят проще моего. Разве никто не задавался вопросом о количестве решений таких крокодилов и их дифференцируемости ?

dgwuqtj в сообщении #1661222 писал(а):

Берёте стандартную "шапочку" с носителем в $[0, 1]$ и продолжаете вашим крокодилом вправо.

Вы хотели сказать, что надо задать сегмент $[0, 4]$, а не $[0, 1]$?

[dgwuqtj]

Igor_Dmitriev в сообщении #1661264 писал(а):

Почему? У некоторых функциональных уравнений единственное решение, правда, они выглядят проще моего. Разве никто не задавался вопросом о количестве решений таких крокодилов и их дифференцируемости ?

Ну так те, где решение единственное, не разностные...

Igor_Dmitriev в сообщении #1661264 писал(а):

Вы хотели сказать, что надо задать сегмент $[0, 4]$, а не $[0, 1]$?

Можно и $[0, 4]$, без разницы.