Задачка от
Padawan:
Доказать что множество действительных чисел нельзя представить в виде счетного семейства замкнутых не пересекающихся множеств.
ChatGPT:
Цитата:
Чтобы доказать, что множество действительных чисел
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
нельзя представить в виде счетного семейства замкнутых непересекающихся множеств, воспользуемся методом от противного.
Предположим, что существует счетное семейство замкнутых непересекающихся множеств
![$ \{A_n\}_{n=1}^{\infty} $ $ \{A_n\}_{n=1}^{\infty} $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/2/df2a07065eb06a8778d261251417985e82.png)
, такое что:
![$$
\mathbb{R} = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n
$$ $$
\mathbb{R} = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/f/43f78382f0a01464ec593c4781841ee882.png)
где
![$ A_n \cap A_m = \emptyset $ $ A_n \cap A_m = \emptyset $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/8/aa848e7137a2ba034fc9a3ba6387528982.png)
для
![$ n \neq m $ $ n \neq m $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/4/4b4966005cc94e03a17313c350c44e1382.png)
.
Поскольку каждое
![$ A_n $ $ A_n $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/6/7f6d4c8e0c5d0374f0111ea357e38ead82.png)
является замкнутым множеством в
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
, оно является и ограниченным, или неограниченным.
Если хотя бы одно из множеств
неограниченно, то оно будет содержать все числа, превышающие некоторую величину, и, следовательно, не может быть непересекающимся с другими множествами, если они тоже неограниченные.
Теперь рассмотрим случай, когда все множества
![$ A_n $ $ A_n $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/6/7f6d4c8e0c5d0374f0111ea357e38ead82.png)
ограничены. Поскольку каждое
![$ A_n $ $ A_n $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/6/7f6d4c8e0c5d0374f0111ea357e38ead82.png)
замкнуто и ограничено, оно является компактным по теореме Больцано-Вейрштраса. Это означает, что каждое
![$ A_n $ $ A_n $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/6/7f6d4c8e0c5d0374f0111ea357e38ead82.png)
содержит свои предельные точки и является замкнутым.
Счетное объединение компактных множеств может быть не компактным, но в случае,
если все
непересекающиеся и ограниченные, их объединение также будет ограниченным. Однако, учитывая, что
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
не является ограниченным множеством, мы получаем противоречие.
Кроме того, если бы
![$ \mathbb{R} $ $ \mathbb{R} $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/0/090e33c285c43cc580330c75bcddbc2382.png)
можно было выразить как счетное объединение непересекающихся замкнутых множеств, то из этого следовало бы, что
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
можно было бы перечислить, что противоречит свойству континуума (размерности) действительных чисел, согласно теореме Кантора о континууме.
Таким образом, мы приходим к выводу, что наше предположение неверно. Следовательно, множество действительных чисел нельзя представить в виде счетного семейства замкнутых непересекающихся множеств.
Ошибка сразу. Подчеркивание мое.
-- 09.11.2024, 15:21 --Дальше смешнее
я:
Цитата:
Доказать что множество действительных чисел можно представить в виде счетного семейства замкнутых непересекающихся множеств.
ChatGPT:
Цитата:
Чтобы доказать, что множество действительных чисел
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
можно представить в виде счетного семейства замкнутых непересекающихся множеств, мы можем использовать следующий подход:
1. **Определение множеств**: Рассмотрим множество
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
и разделим его на интервале
![$[-n, n]$ $[-n, n]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/4/7d41e144765e1356ab9ac956bd8bc16f82.png)
для каждого натурального числа
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
. Мы можем представить
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
как объединение следующих замкнутых множеств:
![$$
A_n = [-n, n]
$$ $$
A_n = [-n, n]
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/4/954a07b24309d2ff0ac5e61c3811cd6482.png)
для
![$n = 1, 2, 3, \ldots$ $n = 1, 2, 3, \ldots$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/3/9633e83fa32386bb3608ebad1c73838282.png)
.
2. **Добавление множеств для положительных и отрицательных чисел**: Мы можем дополнительно разделить каждое
![$A_n$ $A_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/e/51ea793aad42e760f5acf5135930081a82.png)
на два непересекающихся подмножества:
![$$
B_n = [-n, -n + 1] \quad \text{и} \quad C_n = [n - 1, n]
$$ $$
B_n = [-n, -n + 1] \quad \text{и} \quad C_n = [n - 1, n]
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/7/0d75806696a4e496f516b535c80bc67a82.png)
Таким образом, мы можем определить следующее множество:
![$$
A_n = B_n \cup C_n
$$ $$
A_n = B_n \cup C_n
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/9/5297dd08dd51af11f93948c96b76bfde82.png)
3. **Непересекаемость**: Множества
![$A_n$ $A_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/e/51ea793aad42e760f5acf5135930081a82.png)
для разных
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
будут непересекающимися:
![$$
A_n \cap A_m = \emptyset \quad \text{для } n \neq m
$$ $$
A_n \cap A_m = \emptyset \quad \text{для } n \neq m
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/a/9eac5d41f0221c63fe9219de56f839f982.png)
Это происходит потому, что, например,
![$A_1 = [-1, 1]$ $A_1 = [-1, 1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/1/c616966ac5842c752b9ae72ac1d75fa282.png)
и
![$A_2 = [-2, 2]$ $A_2 = [-2, 2]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/c/71c384f50c050a472c26227cc5bbd54782.png)
не пересекаются, и так далее для других значений
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
.
4. **Объединение**: Теперь мы можем записать:
![$$
\mathbb{R} = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n
$$ $$
\mathbb{R} = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/d/c2d690147f42c1994a7c02907734c3bf82.png)
Это объединение охватывает все действительные числа, так как для любого
![$x \in \mathbb{R}$ $x \in \mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/6/706ec669bd7f265770268f65c725b54982.png)
существует такое
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, что
![$x \in A_n$ $x \in A_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/6/f460b78b8b95b5d77d70abf44265147482.png)
.
Таким образом, мы можем представить множество действительных чисел
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
как счетное объединение замкнутых непересекающихся множеств
![$A_n$ $A_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/e/51ea793aad42e760f5acf5135930081a82.png)
.
Следовательно, множество действительных чисел можно представить в виде счетного семейства замкнутых непересекающихся множеств.
-- 09.11.2024, 15:28 --До кучи:
Вещественная функция вещественной переменной непрерывна на замкнутом отрезке, дифференцируема во всех его внутренних точках и равна нулю на концах этого отрезка. Доказать, что внутри отрезка не существует точки, в которой значения функции и её первой производной совпадут.
Chat:
Цитата:
Рассмотрим непрерывную функцию
![$ f $ $ f $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/79986cadd9fb05185bb29bf10739134b82.png)
на замкнутом отрезке
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
, которая дифференцируема во всех внутренних точках и удовлетворяет условиям:
1.
![$ f(a) = 0 $ $ f(a) = 0 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/f/dffb1d39f131a2ac5f1dd02eec16a17082.png)
2.
![$ f(b) = 0 $ $ f(b) = 0 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/5/5e5e588410074623b599200791d733d282.png)
Мы хотим доказать, что внутри отрезка
![$(a, b)$ $(a, b)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/9/ba933e77b90dc996befbe81f77f4388782.png)
не существует точки
![$ c \in (a, b) $ $ c \in (a, b) $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/4/6c4e4eec548ea83efe371623e7ebdd3b82.png)
, такой что
![$ f(c) = f'(c) $ $ f(c) = f'(c) $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/5/7b5fb6c002f33733f7eed0e0bd549a9182.png)
.
Предположим, что существует такая точка
![$ c \in (a, b) $ $ c \in (a, b) $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/4/6c4e4eec548ea83efe371623e7ebdd3b82.png)
, что
![$ f(c) = f'(c) $ $ f(c) = f'(c) $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/5/7b5fb6c002f33733f7eed0e0bd549a9182.png)
.
Рассмотрим функцию
![$ g(x) = f(x) - e^{-(x-c)} f'(c) $ $ g(x) = f(x) - e^{-(x-c)} f'(c) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/6/576fc59b39712d9a285ff2ffc379490182.png)
для
![$ x \in [a, b] $ $ x \in [a, b] $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/5/9153d3c5ce8766f6d76df0acd94ce23982.png)
. Функция
![$ g(x) $ $ g(x) $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/a/acafe31fe9684eb23795f621639d801682.png)
будет непрерывной, так как
![$ f $ $ f $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/79986cadd9fb05185bb29bf10739134b82.png)
и
![$ f' $ $ f' $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/9/0d980e307097458021da95d35c3f919082.png)
непрерывны (последняя из-за дифференцируемости).
Теперь оценим
![$ g $ $ g $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/4/724814a8a362df23285a3f88c1408a9d82.png)
на концах отрезка:
- На
![$ x = a $ $ x = a $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/9/919c16b066db924519e0554cb7aa0a5382.png)
:
![$$
g(a) = f(a) - e^{-(a-c)} f'(c) = 0 - e^{-(a-c)} f'(c) = -e^{-(a-c)} f'(c)
$$ $$
g(a) = f(a) - e^{-(a-c)} f'(c) = 0 - e^{-(a-c)} f'(c) = -e^{-(a-c)} f'(c)
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/a/65a24831486b9fcf3be476cd923a312382.png)
- На
![$ x = b $ $ x = b $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/d/0ddefcef0611cdbf5438c19d1fcd0a0182.png)
:
![$$
g(b) = f(b) - e^{-(b-c)} f'(c) = 0 - e^{-(b-c)} f'(c) = -e^{-(b-c)} f'(c)
$$ $$
g(b) = f(b) - e^{-(b-c)} f'(c) = 0 - e^{-(b-c)} f'(c) = -e^{-(b-c)} f'(c)
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/d/afd65ac0286e60cccb6da99fd365cd3482.png)
Оба значения
![$ g(a) $ $ g(a) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/7/117c4ba51f2ba8bfc9ab3f7179fb17f782.png)
и
![$ g(b) $ $ g(b) $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/0/2d07220b1c21df34dff885cb6b0ccb1582.png)
равны нулю, так как
![$ f(a) = 0 $ $ f(a) = 0 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/f/dffb1d39f131a2ac5f1dd02eec16a17082.png)
и
![$ f(b) = 0 $ $ f(b) = 0 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/5/5e5e588410074623b599200791d733d282.png)
.
Теперь, так как
![$ g(c) = f(c) - f'(c) = 0 $ $ g(c) = f(c) - f'(c) = 0 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/a/1faa85abe00f3e0502e9dba1665331f882.png)
(по предположению), мы имеем, что
![$ g(c) = 0 $ $ g(c) = 0 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/2/7f20b03e0405ae61d7551275269c462782.png)
.
По теореме о промежуточных значениях, если
![$ g(a) $ $ g(a) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/7/117c4ba51f2ba8bfc9ab3f7179fb17f782.png)
и
![$ g(b) $ $ g(b) $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/0/2d07220b1c21df34dff885cb6b0ccb1582.png)
имеют одинаковый знак, а
![$ g(c) = 0 $ $ g(c) = 0 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/2/7f20b03e0405ae61d7551275269c462782.png)
, то
![$ g $ $ g $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/4/724814a8a362df23285a3f88c1408a9d82.png)
должно иметь хотя бы одну точку максимума или минимума на интервале
![$(a, b)$ $(a, b)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/9/ba933e77b90dc996befbe81f77f4388782.png)
.
Поскольку
![$ g'(x) = f'(x) - e^{-(x-c)} f'(c) $ $ g'(x) = f'(x) - e^{-(x-c)} f'(c) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/d/5dd51fda3a0e45011879132a01c8d97682.png)
, и по теореме Ферма, если
![$ g $ $ g $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/4/724814a8a362df23285a3f88c1408a9d82.png)
имеет максимум или минимум в точке
![$ c $ $ c $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/9/3b9edf07f403d97e9f5bbd73dc66aae482.png)
, то
![$ g'(c) = 0 $ $ g'(c) = 0 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/2/1025c507f9715546967a3a53ae83af6182.png)
, что приводит к равенству:
![$$
f'(c) = e^{-(c-c)} f'(c) = f'(c)
$$ $$
f'(c) = e^{-(c-c)} f'(c) = f'(c)
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/2/852c64e955bcc91ac644cf34c3a4545e82.png)
что не может быть, если
![$ f'(c) \neq 0 $ $ f'(c) \neq 0 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/d/e1d040f691d862f97c0ff1eded3839ca82.png)
.
Таким образом, мы приходим к противоречию, что означает, что наше предположение о существовании такой точки
![$ c $ $ c $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/9/3b9edf07f403d97e9f5bbd73dc66aae482.png)
было неверным.
Следовательно, внутри отрезка
![$(a, b)$ $(a, b)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/9/ba933e77b90dc996befbe81f77f4388782.png)
не существует точки, в которой значения функции
![$ f $ $ f $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/79986cadd9fb05185bb29bf10739134b82.png)
и её первой производной
![$ f' $ $ f' $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/9/0d980e307097458021da95d35c3f919082.png)
совпадают.