Уравнение в рациональных числах

[nnosipov]

Конечно или бесконечно множество решений уравнения

$$(a+b\sqrt{2})^2+(c+d\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{2}$$

в рациональных числах $a$, $b$, $c$, $d$?

Комментарий. Навеяно фольклорной задачей: доказать, что не существует рациональных чисел $a$, $b$, $c$, $d$, для которых

$$(a+b\sqrt{2})^2+(c+d\sqrt{2})^2=1+\sqrt{2}.$$

[blek]

Так пойдет?
$a=b=\frac{m^2-n^2}{m^2+n^2}$
$c=d=\frac{2mn}{m^2+n^2}$

[Shadow]

$a+b\sqrt 2=(1+\sqrt 2)\dfrac{u^2-1}{u^2+1}$

$c+d\sqrt 2=(1+\sqrt 2)\dfrac{2u}{u^2+1}$

где $u \in \mathbb{Q}$_{\sqrt 2}

[RIP]

(Оффтоп)

Вообще, метод секущих работает над любым полем, поэтому для любой правой части, кроме 0, множество решений либо пусто, либо бесконечно.

[nnosipov]

Да, все так.