Обобщения гипотезы Гольдбаха

[Sonic86]

Мне нужно знать только общее состояние следующего вопроса.
Существуют ли обобщения гипотезы Гольдбаха на более общие числовые системы, например на кольца алгебраических чисел. И как она там?: доказана или опровергнута, рассматривалась ли?

И еще вопрос:

Верно ли такое обощение теоремы Дирихле:
Если $x_j(n)=a_j+n d_j, \gcd(a_j, d_j) = 1, j=1,...,k$, то существует бесконечное число n таких, что в энках $(x_1(n),...,x_k(n))$ все k чисел простые?

[Nilenbert]

Разъясните второй пункт, а то в такой формулировке он слишком просто выглядит. Возьмём к примеру $a_1=4, d_1=1, a_2=5, d_2=1$, тогда из чисел $(x_1,x_2) = (n+4, n+5)$ - одно чётное и больше 2-х, т.е. составное.

[maxal]

Sonic86 в сообщении #166073 писал(а):

Верно ли такое обощение теоремы Дирихле:

Обобщать нужно аккуратно. См., например, http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html

[Sonic86]

Насчет кривого обобщения - согласен.
Пока по ссылке maxal-a еще не прочел, но вот частный случай, когда $a_j$ попарно взаимно просты мне кажется без исключений (хотя нет, вру).

Прочел ссылку.
Получается, что проблема простых-близнецов - это частный случай такого обобщения. Значит это - слишком сложно.

А то могло бы быть так:
Если существует бесконечное множество таких k, что $p=k+1, q=2k+1, r=3k+1$ - простые, то $pqr$ - число Кармайкла с тремя множителями.
Тройка последовательностей типа $p=ak+1, q=bk+1, r=ck+1$, видимо, одна, написанная выше, а остальные в нее входят. Еще можно брать $p=k-1, q=2k-1, r=3k+1$, $p=k-1, q=2k+1, r=3k-1$, $p=k+1, q=2k-1, r=3k-1$

[Sonic86]

Насчет обобщения гипотезы Гольдбаха на более широкие множества - фактически это ее ослабляет.
Например, если обобщать на $\mathbb{Z}$, то получится гипотеза: любое целое число представимо в виде суммы или разности простых чисел.