Задача по действительному анализу

[Bober2]

Добрый вечер, уважаемые участники форума! Столкнулся я недавно со следующей задачей:
Вот у нас есть две неотрицательные непрерывные функции на $[0,1]$ - $f$ и $g$ такие, что интегралы от них равны 1. Всегда ли можно взять множество $A$ с мерой Лебега $\frac{1}{2}$, что интегралы от $f$ и $g$ по множеству $A$ будут равны $\frac{1}{2}$?
Буду благодарен, если кто-нибудь даст подсказку.

[dgwuqtj]

Я бы искал $A$ в виде дуги окружности (полученной из отрезка склеиванием концов). Тогда не умаляя общности можно считать, что $f$ и $g$ строго положительны (иначе сделать предельный переход и использовать компактность пространства дуг). Как функции на окружности они кусочно непрерывны. Строгая положительность нужна для того, чтобы с каждым началом была единственная дуга, интеграл по которой от $f$ равен $\frac 1 2$, и аналогично для $g$.

[Bober2]

Есть у меня такая идея:
Рассмотрим множество $X$ с метрикой Хаусдорфа. Если удастся показать, что $X$ - это полное компактное метрическое пространство, то можно рассмотреть две непрерывные функции на этом пространстве:
$f_*(A) = \[ \int_A f(x)\;dx \]$ и
$g_*(A) = \[ \int_A g(x)\;dx \]$
Тогда множество $Y_\epsilon$ = \{A| $\frac{1}{2} - \epsilon$ \leq f_*(A), g_*(A) \leq \frac{1}{2}+ \epsilon\}$ будет непустым компактом при любом $\epsilon$. Значит набор $\{Y_\frac{1}{n}\}_{n=1}^\infty$ образует набор непустых вложенных компактов, следовательно их пересечение нетривиально.
Что скажите?

[dgwuqtj]

А вы уже умеете доказывать, что $Y_\eps$ непустые?

[Bober2]

dgwuqtj в сообщении #1660432 писал(а):

А вы уже умеете доказывать, что $Y_\eps$ непустые?

Это несложно кажется сделать. Мы просто можем брать последовательность "осциллирующих" функций, которые в $L^\infty$ *-слабо сходится к $\frac{1}{2}$. Например, в качестве такой последовательности можно брать следующие функции:
берём интервал $[0,1]$ и дробим на $2^n$ одинаковых кусков. Потом берём отрезки с нечётными номерами и ставим на них единицу. А в остальных - ноль.
Но проблема моего рассуждения не в этом. Я погорячился, сказав, что функции, записанные через интеграл будут непрерывными.

-- 02.11.2024, 20:54 --

Поэтому теперь интересен следующий момент: Есть ли на пространстве компактов в $[0,1]$ метрика, относительно которой пространство компактно и функции, записанные ранее через интеграл, непрерывны?

[schmetterling]

А пусть даже и есть. Рассмотрим частичный предел $A$ вашей последовательности множеств. Тогда для любой функции $f$ выполнено $\int_A f = \frac12 \int_{[0;1]} f$, но так не бывает

[Bober2]

schmetterling в сообщении #1660458 писал(а):

А пусть даже и есть. Рассмотрим частичный предел $A$ вашей последовательности множеств. Тогда для любой функции $f$ выполнено $\int_A f = \frac12 \int_{[0;1]} f$, но так не бывает

Да, Вы правы