Кривошип соединяет оси зубчатых колёс. Общие вопросы по зада

[DariaRychenkova]

Кривошип $O A$, соединяющий оси $O$ и $A$ двух находящихся в зацеплении зубчатых колёс I и II, вращается вокруг неподвижной оси $O$ с постоянной утловой скоростью $\omega$. Колесо II вращается в противоположном направлении вокруг оси $O$ с такой же по величине угловой скоростью $\omega$. Найти скорость и ускорение точки $M$ обода колеса I в тот момент вре мени, когда $\overline{O A} \perp \overline{A M}$, если ралиус колеса II в три раза больше радиуса колеса I $\left(r_1=3 r, \quad r_2=r\right)$.

Моё решение:

(1) Свяжем ПСО с колесом ||

(2) Условие равенства скоростей в точке зацепления $\mathrm{F}$:
${\overrightarrow{V}_I+\overrightarrow{V}_{\mathbb{II}}=0}$

В этом уравнении для векторов не должно быть минусов, да?

Перепишем, как:

$$ [\bar{\omega}_I, \overrightarrow{A F}]+[\bar{\omega}, \overrightarrow{O F}]=0 $$

(3) Пусть ось $x$ проходит вдоль $\overrightarrow{OA}$, ось $y$ - перпендикулярно $x$ и через точку $O$

Сейчас допишу остальные пункты...



-- 31.10.2024, 17:18 --

Первое слагаемое (векторное произведение) равно $(r \omega_I)\bar{e}_y$

Второе = $(3 r \omega)\bar{e}_y$

Отсюда: ${\omega_I}= {3 \omega}$

(4)

$$ \begin{aligned} & \overline{V_M}{ }^{\text {отн }}=\overline{V_I}+\left[\overline{\omega_I} \cdot \overline{F M}\right]=\\ & \left.=(3 r \omega) \overline{e_y}+\bar{e}_x(-3 r \omega)+\overline{e_y}(-3 r \omega\right) \\ & =(-3 r \omega) \bar{e}_x \end{aligned} $$

Так как ${\overline{F M}}={r\bar{e}_y + r\bar{e}_x}$

Как здесь аргументировать, что я нашла относительную скорость?

-- 31.10.2024, 17:34 --

(5) Переносной скоростью называется абсолютная скорость той точки ПСК, в которой в данный момент находится точка $M$:

$\overline{V_{\text {пер}}}=\overline{V_o}+[\bar{\omega}, \overrightarrow{O M}]=\overline{e_x}(-r \omega)+\overline{e_y}(2 \omega r)$

(6)
По теореме сложения скоростей

$$\overline{V_{\text {пер}}}+\overline{V_{\text {отн}}}=$$

$$ \begin{aligned} & =\bar{e}_x(-4 r \omega)+\overline{e}_y(2 \omega r) \Rightarrow \\ & V_M=2 \omega r\sqrt{5} \\ & a_M=\frac{d v_M}{d t}=2 r \sqrt{5}\left(\frac{d\omega}{d t}\right) \end{aligned} $$

-- 31.10.2024, 17:45 --

(7) По формуле Ривальса для тела I, точек AM

$$ \begin{aligned} & \bar{a}_M=\bar{e}_x(-4 r \varepsilon)+\bar{e}_y(2 r \varepsilon)= \\ & =\bar{a}_A+[\bar{\varepsilon}, \overline{A M}]+\left[\bar{\varepsilon} \left[\bar{\varepsilon} , \overline{A M}\right]\right]= \\ & =\overline{e_x}(-r \varepsilon)+\overline{e_y}\left(-9 \omega^2 r\right) \end{aligned} $$

Правда же, что $\bar{a}_A=0$?

Вот на это шаге, если приравнять коэффициенты при каждой координате, получается противоречие...

Где ошиблась?

[drzewo]

Если $F$ это точка зацепления то условие непроскадьзывания пишется так

$$\boldsymbol v_A+[\boldsymbol \omega_I,\boldsymbol {AF}]=[\boldsymbol \omega_{II},\boldsymbol {OF}]$$

-- 31.10.2024, 19:28 --

уравнения удобно расписывать по осям вращающейся системы координат $Oxyz$, где $Ox$ проходит через $OA$.

[DariaRychenkova]

drzewo


Поняла...
Спасибо Вам большое!!

-- 31.10.2024, 18:41 --

Вау
Тогда получится, что ${\omega_I}= { \omega}$

[drzewo]

не получается

[DariaRychenkova]

drzewo


${\overline{V_A}}= {2 r \omega\bar{e}_y}$

-- 31.10.2024, 19:37 --

А справа от знака равенства - коэффициент 3

[drzewo]

$\boldsymbol v_A=2r\omega\boldsymbol e_y;$
угловая скорость системы $Oxyz$ (ранвя угловой скорости стержня $OA$) $\boldsymbol \omega=\omega \boldsymbol e_z$

-- 31.10.2024, 20:40 --

$\boldsymbol \omega_{II}=-\omega\boldsymbol e_z,\quad \boldsymbol \omega_I=\omega_I\boldsymbol e_z$ ...

[DariaRychenkova]

drzewo

Да!
Минус потерян
Спасибо Вам