Вопросы по синтаксису Бурбаки

[creative]

zkutch

Подумал, перечитал. Да, я пропустил этот значимый факт. Соотношение (терм) это такое знакосочетание второго (первого) рода для которого существует формативная конструкция в которой оно встречается. Это хорошо проясняет разницу между CF6 и CF7.
Перечитал о том, какие условия должны соблюдаться, чтобы быть соотношением или термом.

Есть правда один момент, который меня смущает.

Пункт 1: А именно в доказательстве CF6 говорится:

Цитата:

Если $A_i$ имеет вид $\neg A_j$, где $A_j$ - знакосочетание второго рода, предшествующее $A_i$ в конструкции, то $A_i'$ тождественно c $\neg A_j'$, согласно CS5, и $A_j'$ есть знакосочетание второго рода.

Насколько я понял явно нигде не доказывается, но утверждается, что:

Утв. 1: Если $A$ знакосочетание первого (соответственно втрого) рода, то $(y|x)A$ есть знакосочетание первого (соответственно второго) рода.

На этот факт опирается доказательство CF6. Доказать этот факт не сложно, для этого достаточно посмотреть на стр. 35 условия достаточные для того, чтобы быть знакосочетанием первого или второго рода, а так же посмотреть CS3, CS4, CS5. Но смущает, что доказательство (или хотя бы утверждения в виде критерия) этого факта явно не дается, хотя при этом даются доказательства таких же очевидных фактов.

В1: Что я упустил и не учитываю?

[zkutch]

Я думаю, что вы все правильно поняли.

Что касается вашего смущения - это очевидно вопрос методики написания монографии. Что считать "очевидным", а что явно расписывать решают авторы, а мы жертвы их вкуса. Точно так-же написав что-нибудь мы обрекаем на наш вкус наших читателей.

Почти все (хотя, наверное, все) книги которые я читаю, для меня, страдают этим недостатком.

А Бурбаки наверное посчитали, что настолько детально разобрали критерии подстановки (34стр.), что подобные утверждения могут и оставлять в неявном виде. И имейте ввиду - дальше хуже, но надеюсь подход и уровень книги уже вам понравился. Второй такой я не встречал.

[creative]

zkutch

Мне нравится их подход. Прежде, чем я решил начать их читать я долго присматривался к ним.

Пока подумаю над CF8. Если с последним не будет сомнений или вопросов, то буду выкладывать доказательства упражнений и/или вопросы к ним.

[creative]

zkutch

С CF7 и CF8 разобрался, надеюсь, что не упустил каких-либо ещё важных деталей.

Ниже привожу разбор упраждения 1:

Цитата:

1) Пусть $\mathcal{T}$ - теория без специальных знаков. Ни одно знакосочетание теории $\mathcal{T}$ не является соотношением. Единственные знакосочетания теории $\mathcal{T}$, являющиеся термами, суть знакосочетания, сводящиеся к одной букве.

Докажу, что из посылки:

$\mathcal{T}$ - теория без специальных знаков.

Следуют два следствия:

С1: Ни одно знакосочетание теории $\mathcal{T}$ не является соотношением.
С2: Единственные знакосочетания теории $\mathcal{T}$, являющиеся термами, суть знакосочетания, сводящиеся к одной букве.

Доказательство С1 (для него требуется допущение Д1: любое знакосочетание имеет конечное количество знаков, хотя об этом явно нигде не сказано):

1) Если в теории $\mathcal{T}$ есть хотя бы одно соотношение, то согласно определению соотношения в п. 3 на стр. 35 существует формативная конструкция $\mathcal{F}$ в которой есть хотя бы одно знакосочетание второго рода.
2) По определению в п. 3 на стр. 35 формативная конструкция есть последовательность знакосочетаний, где для каждого знакосочетания выполняется одно из условий а - д данных на стр. 35. Согласно определению знакосочетания второго рода в п. 3 на стр. 35 знакосочетания второго рода из любой формативной конструкции в которой есть знакосочетания второго рода, должны удовлетворять условиям б, в, д (когда $s$ реляционный знак).
3) Так как количество знаков в знакосочетаниях конечно и согласно условиям а - д (из 2) и определению знакосочетания первого рода в п. 3 на стр. 35 знакосочетание минимальной длинны (в один знак) из любой формативной конструкции есть первого рода.
4) Из 2: знакосочетания второго рода из формативной конструкции удовлетворяющие условиям б, в образуются из других знакосочетаний второго рода, в которых количество знаков меньше.
5) Согласно 2, 3 и 4 в любой формативной конструкции, где есть знакосочетания второго рода существует знакосочетание второго рода удовлетворяющее условию д.
6) Из 1 и 5 следует, что знакосочетаний второго рода встречающихся в формативных конструкциях нет, а значит в теории $\mathcal{T}$ нет соотношений. Ч. Т. Д.

Доказательство С2 (для него требуется допущение Д2: под фразой "знакосочетания теории $\mathcal{T}$" подразумеваются знакосочетания встречающиеся в формативных конструкциях):

1) По определению в п. 3 на стр. 35 формативная конструкция есть последовательность знакосочетаний, где для каждого знакосочетания выполняется одно из условий а - д данных на стр. 35. Согласно определению знакосочетания первого рода в п. 3 на стр. 35 знакосочетания первого рода из любой формативной конструкции в которой есть знакосочетания первого рода, должны удовлетворять условиям а, г, д (когда $s$ субстантивный знак).
2) Согласно С1 в теории $\mathcal{T}$ в формативных конструкциях встречаются только знакосочетания первого рода.
3) Согласно 1 и 2 в теории $\mathcal{T}$ любое знакосочетание, которое встречается в формативной конструкции должно соответствовать только условию а. Это значит, что все такие знакосочетания теории состоят из одной буквы. Ч. Т. Д.

Вопросы:

В1: Правильно ли я доказал С1 и С2?
В2: Что Вы думаете о допущениях Д1 и Д2 (особенно о Д2)?

[zkutch]

хорошо, что успел посмотреть - завтра выезжаю из города и буду не раньше вторника 3 мая. Ну и плюс какое-то минимальное время на разогрев мозгов. Извините, раньше не смогу начать обдумывать, но вы, по мере того как сочтете нужным, добавляйте вопросы и соображение и буду жив, так отвечу обязательно.

[zkutch]

по нашей традиции, извиняюсь за задержку, и согласно обещанному предлагаю сперва разобраться с первой частью т.е. с С1.
сперва по

Цитата:

Д1: любое знакосочетание имеет конечное количество знаков, хотя об этом явно нигде не сказано

- на стр. 31 определение знакосочетания по которому мы имеем дело с написанными друг рядом с другом знаками.

в доказательстве С1 в 2) во втором предложении вы три раза используете слова "знакосочетания второго рода" - это у вас так и было задуманно?

в 4) вы правильно говорите об уменьшении количества знаков при движении влево, но, пожалуйста прокоментируйте, чтобы я был уверен, что мы одинаково аргументируем этот пункт. Это ключевой момент доказательства.

[creative]

Тоже извиняюсь за задержку с ответом, на работе завал, работа у меня занимает большую часть суток.

zkutch в сообщении #441236 писал(а):

в доказательстве С1 в 2) во втором предложении вы три раза используете слова "знакосочетания второго рода" - это у вас так и было задуманно?

Да, но получилось слишком многословно.

zkutch в сообщении #441236 писал(а):

в 4) вы правильно говорите об уменьшении количества знаков при движении влево, но, пожалуйста прокоментируйте, чтобы я был уверен, что мы одинаково аргументируем этот пункт. Это ключевой момент доказательства.

Я понимаю это следующим образом:

Предположим $A$ есть знакосочетание второго рода встречающееся в некоторой формативной конструкции и $A$ удовлетворяет условию б. Тогда $A$ имеет вид $\neg B$, где $B$ знакосочетание второго рода. Поскольку $A$ состоит из полной последовательности знаков соответствующих знакосочетанию $B$ и записанным слева от этой последовательности знаком $\neg$, то соответственно число знаков встречающихся в $A$ есть число знаков встречающихся в $B$ плюс один знак (так как слева приписывается $\neg$). Аналогично рассуждаем для случая в.

Заметил, что достаточно трудно написать точное доказательство, но при этом быть не многословным. Пока не получается.

[creative]

Привожу разбор упражнения 2:

Цитата:

2) Пусть $A$ - терм или соотношение теории $\mathcal{T}$. Показать, что каждый знак $\Box$, если он имеется в $A$, связан с одним и только одним знаком $\tau$, расположенным слева от него. Показать, что всякий знак $\tau$, если он имеется в $A$, либо не связан с другими знаками, либо связан с некоторыми знаками $\Box$, расположенными справа от него. Ни один другой знак не связан ни с какими знаками.

Докажу утверждения:

S1. Каждый знак $\Box$, если он имеется в $A$, связан с одним и только одним знаком $\tau$, расположенным слева от него;
S2. Всякий знак $\tau$, если он имеется в $A$, либо не связан с другими знаками, либо связан с некоторыми знаками $\Box$, расположенными справа от него;
S3. Ни один другой знак не связан ни с какими знаками;

Если какой либо пункт опирается на предыдущий, то в квадратных скобках в начале предложения этого пункта этот пункт (на который опирается) будет упоминатся.

1. $A$ встречается в формативной конструкции по определению терма и соотношения на стр. 35;
2. [1] По определению формативной конструкции на стр. 35 для $A$ выполняется одно из условий a - д;
3. [2] Обозначим $A$ как $A_n$, где $A_n$ есть последний элемент в последовательности знакосочетаний $A_1, A_2, ..., A_n$. Для каждого $A_i$ (где $i > 1$ и $i \leq n$) знакосочетания $A_1, ..., A_{i - 1}$ есть предшествующие знакосочетания. И для каждого $A_i$ (где $i > 1$ и $i \leq n$) выполняется одно из условий а - д и для $A_1$ выполняется только а. То есть последовательность $A_1, A_2, ..., A_n$ есть формативная конструкция, где $A$ есть последний элемент этой конструкции;
4. [3] $A_i$ (где $i > 1$ и $i \leq n$) получается из предшествующих знакосочетаний, если выполняется одной из условий б - д;
5. [4] Только условие г строит знакосочетание $A_i$ из $A_j$ (где $j < i$) добавляя слева $A_j$ знак $\tau$, а так же заменяя буквы $x$ в $A_j$ на $\Box$ (если $A_i$ имеет вид $\tau_x(A_j)$) и соединяя каждый $\Box$ линией с поставленным слева от $A_j$ знаком $\tau$ согласно определению $\tau_{\alpha}(\Phi)$ на стр. 33. Ни какие другие условия не строят знакосочетание $A_i$ добавляя знаки $\tau$ или $\Box$ или заменяя существующие знаки на $\tau$ или $\Box$;
6. [3, 5] Предположим $A_t$ знакосочетание для которого выполняется условие г. $A_t$ имеет вид $\tau_x(A_k)$, где $k \geq 1$ и $k < t$;
7. [5, 6] Любой знак $\Box$ записанный вместо $x$ связан только с первым знаком $A_t$, который есть $\tau$. Так как $x$ может быть только буквой по определению $\tau_{\alpha}(\Phi)$ и условия г, то значит, что $x$ не есть $\Box$, а следовательно $\Box$ не заменится на $\Box$ и не свяжется с первым знаком $A_t$. Это значит, что вне зависимости от того, есть ли в $A_k$ знаки $\Box$ или нет, новые $\Box$ заменяющие букву $x$ будут связаны только с первым знаком $A_t$;
8. [4, 5, 7] Если некоторое $A_i$ получается из предшествующих знакосочетаний, то если для этого $A_i$ выполняется условие б (т.е. $A_i$ имеет вид $\neg A_j$, где $j < i$), тогда добавление слева от $A_j$ знака $\neg$ не изменяет относительной позиции знаков $\Box$ и $\tau$ и не добавляет новых знаков $\Box$ или $\tau$, а так же не заменяет какие-то знаки на $\Box$ или $\tau$. Если выполняется условие в или д, то выписывание знакосочетаний друг за другом также не изменяет относительной позиции знаков $\Box$ и $\tau$ и не добавляет новых знаков $\Box$ или $\tau$, а так же не заменяет какие-то знаки на $\Box$ или $\tau$ и аналогично тому когда выполняется условие б приписывание слева от выписанных знакосочетаний друг за другом знака $\vee$ либо специального знака не изменяет относительной позиции знаков $\Box$ и $\tau$ и не добавляет новых знаков $\Box$ или $\tau$, а так же не заменяет какие-то знаки на $\Box$ или $\tau$;
9. [7, 8] Пункты 7 и 8 верны для всех знакосочетаний в последовательности $A_1, A_2, ..., A_n$, а значит и для $A_n$. Поэтому выполняется S1;
10. [5, 6, 7] Знак $\tau$ стоящим первым в последовательности $A_t$ связан только со знаками $\Box$ записанными вместо $x$;
11. [8, 10] Пункты 8 и 10 верны для всех знакосочетаний в последовательности $A_1, A_2, ..., A_n$, а значит и для $A_n$. Поэтому выполняется S2;
12. [5] Согласно 5 ни по какому другому условию не выполняется связывание. И данное утверждение верно для всех знакосочетаний в последовательности $A_1, A_2, ..., A_n$, а значит и для $A_n$. Поэтому выполняется S3;
13. [9, 10, 12] Ч.Т.Д.

Надо разобраться с упражнением 1 и 2 и я чувствую, что мне нехватает строгости в доказательствах. Надеюсь, что разбор доказательств от упражнения 1 и 2 прояснит причины этих сомнений.

[Kirill Panovik]

creative
Здравствуйте! Тоже начал читать Н. Бурбаки, и не совсем понимаю интуитивный смысл тау-квадрат обозначений. Можете как-то подробно и на примере объяснить? Буду очень благодарен.

[arseniiv]

А можно просто читать учебники с нормальными обозначениями. Слышал здесь же на форуме, что сами Бурбаки в следующих томах то, что наввели в первом, не используют, так что основания можно поизучать по чему-то ещё, даже если планируется читать дальнейшие тома Бурбаки.

[rokibox]

zkutch в сообщении #437660 писал(а):

И вы меня извините, занятость по работе(ам) мне очень понятна, столько идиотизмов и на стольких фронтах, что жизнь страННой кажется.
Но, поплакались и к делу, опять в хронологическом порядке вопросов:
для Виктор Викторов
фактически вы сами и дошли до ответа. Я могу, наверное, только сэкономить вам время и назвать следующие страницы: на 82стр. субстантивный знак пары с помощью которого на 86стр. строится терм "соответствие" и далее 90стр. "функция". И для полного счастья определение суммы двух кардинальных чисел 192стр.

для creative

Цитата:

если $A_j$, знакосочетание второго рода, то $(y|x)A_j$ есть знакосочетание второго рода. Но это же доказывается только дальше, а именно в CS7.

Нет, там доказывается, что это соотношение.
И более подробно: чтобы знакосочетание второго рода было соотношением нужно чтобы оно встречалось в формативной конструкции (35стр.). Не пропустите абзац на стр.36 прямо перед 4-м пунктом - там, дополнительно к определению, расписанно, что нужно, чтобы быть соотношением.

Между CF6 и CF7 разница в том, что в CF6 мы предполагаем, что y не встречается в A, а в CF7 допускаем. А это влечет за собой то, что CF6 говорит, что при замещении x на y в A для каждого A, появится новая формативаня конструкция, когда CF7 этого не гарантирует и показывает лишь то, что новые термы/соотношения могут находится в разных формативных конструкциях.

[talash]

(Оффтоп)

Kirill Panovik в сообщении #1507052 писал(а):

creative
Здравствуйте! Тоже начал читать Н. Бурбаки, и не совсем понимаю интуитивный смысл тау-квадрат обозначений. Можете как-то подробно и на примере объяснить? Буду очень благодарен.

Могу на примере показать, почему не нужно читать Бурбаки

Цитата:

Одним из условий членства в группе был возраст, не превышающий 50 лет
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0 ... 0%BA%D0%B8

Цитата:

7 (28) июля 1766 года 60-летний Эйлер, его семья и домочадцы (всего 18 человек) прибыли в российскую столицу.Число опубликованных им работ даже возросло; в течение второго пребывания в России Эйлер продиктовал более 400 статей и 10 книг, что составляет больше половины его творческого наследия
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0 ... B8%D1%8F_&#40;1766%E2%80%941783)