Брахистохрона это геодезическая

[drzewo]

Несложное утверждение, но, по-моему, интересное само по себе, я его у в учебниках не видел, но мало вероятно чтобы это не отмечалось ранее.


На многообразии $M$ с локальными координатами $x=(x^1,\ldots,x^m)^T$ задана лагранжева система

$$L=T-V(x),\quad T=\frac{1}{2}\dot x^TG(x)\dot x.$$

Здесь $G$ -- матрица Грамма римановой метрики на $M$.
Зафиксируем уровень энергии

$$T+V=h,\quad D=\{x\in M\mid V(x)<h\}.$$

Зафиксируем две точки $x_1,x_2\in D$ и будем рассматривать гладкие кривые $\gamma\subset D$, которые эти точки соединяют. Множество таких кривых обозначим за $\Gamma.$
Выберем какую-нибудь кривую $\gamma\in\Gamma$. Будем считать, что на систему наложены дополнительные идеальные связи, которые принуждают ее двигаться по этой кривой. Через $\tau(\gamma)$ обозначим время движения системы c уровнем энергии $h$ по кривой $\gamma$.
Обобщая стандартное понятие, назовем брахистохроной критическую точку функционала

$$\gamma\mapsto\tau(\gamma).$$

Доказать, что брахистохрона является геодезической римановой метрики в $D$. Найти эту метрику.

Можно пойти дальше и рассмотреть задачу о брахистохроне в системах с неголономными связями. Это приводит к вариационной задаче Лагранжа.

[pppppppo_98]

Чо то не понял. А чем олимпиадность то этой задачи?

$dt=\frac{ds}{|v|}$.
$ds = \sqrt{g_{ij} dx^i dx^j}$, $|v|=\sqrt{2(h-V)}$

В итоге вариационная задача $T[x(\tau)]=\int\limits_{x_1}^{x_2} d\tau\,\sqrt{\frac{g_{ij}}{2(h-V)}\frac{d x^i}{d \tau}\frac{d x^j}{d \tau}}\rightarrow ext$.

[drzewo]

Задача совсем не сложная, факт интересен -- я на него хотел обратить внимание.

[pppppppo_98]

drzewo в сообщении #1654745 писал(а):

Выберем какую-нибудь кривую $\gamma\in\Gamma$. Будем считать, что на систему наложены дополнительные идеальные связи, которые принуждают ее двигаться по этой кривой.

вот эта фраза вообще непонятна. У вас m-мерное пространство. Для того что бы фиксировать кривую нужно наложить m-1 связей. и в чем тогда состоит вариационная задача? зафиксировать динамику по фиксированной в пространстве кривой? или таки у нас фиксирована не кривая в конфигурационном пространстве , а поверхность в фазовом пространстве постоянной энергии h.... то есть на лагранжеву систему (с лагранжианом выражающим время спуска), наложено дополнительная связь ($\frac{1}{2} g_{ij}(x) \dot{x}^i \dot{x}^j +V(x)-h=0$)

[drzewo]

pppppppo_98 в сообщении #1659747 писал(а):

вот эта фраза вообще непонятна

это уже ваша проблема:)

[pppppppo_98]

drzewo в сообщении #1659744 писал(а):

Задача совсем не сложная, факт интересен -- я на него хотел обратить внимание.

уже намного- намного позже студеничества (более я в практике никогда и не сталкивался с вариационным исчислением) , однажды решая задачу о баристрихоне, и о форме цепной линии (в голову пришла во время чтения проектной документации по строительству ЛЭП )- вдруг в голову пришло , что собственно это же первая вариационная задача о пути света в среде с хитрым показателем преломления ну или в ваших терминах геодезическая с хитрой метрикой