Сходится ли ряд равномерно

[pop4ik]

Помогите решить следующее: сходится ли ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^3(nx)}{n}$$

равномерно на $[0, \pi/4]$?
Нужно как то применить принцип Дирихле, у нас какая то знакопеременная сумма, но проблема в том что ни одна из последовательностей частичные суммы $\sin^3(nx)$ и $1/n$ не ограничены (для синуса для некоторых иксов, или я просто не в курсе как его оценить). Хотелось бы доказать что этот ряд просто на обозначенном компакте НЕПРЕРЫВНЫЙ, а так и равномернонепрерывнй по теореме Кантора. НО! Я вообще не уверен что ряд непрерывный в окрестностях нуля. В общем прошу помощи

[Null]

Понизите степень синуса. Выразите $\sin^3x$ его через $\sin(3x)$ и $\sin^1x$

[svv]

(pop4ik)

pop4ik в сообщении #1659224 писал(а):

равномерно на [0, pi/4]?
Нужно как то применить принцип Дирихле, у нас какая то знакопеременная сумма, но проблема в том что ни одна из последовательностей частичные суммы sin^3(nx) и 1/n не ограничены

Формулы в тексте, в том числе и обозначения отдельных переменных, тоже надо писать с помощью $\TeX$:
... равномерно на $[0,\frac{\pi}4}]$ ... частичные суммы $\sin^3(nx)$ и $1/n$ (или $\frac 1 n$) не ограничены...

[Combat Zone]

pop4ik в сообщении #1659224 писал(а):

принцип Дирихле

Признак Дирихле. Принцип Дирихле это другое.

Ну примените, положим, и что? Равномерной сходимости на отрезке не будет (то есть даже признак Дирихле ее не даст), и если вам нужен ответ не про нее, а про непрерывность, вы ничего не сможете сказать. Из отсутствия равномерной сходимости ничего не следует.

pop4ik в сообщении #1659224 писал(а):

Я вообще не уверен что ряд непрерывный в окрестностях нуля

Правильно не уверены. Сумма ряда в нуле разрывна.

[pop4ik]

Combat Zone в сообщении #1659310 писал(а):

pop4ik в сообщении #1659224 писал(а):

принцип Дирихле

Признак Дирихле. Принцип Дирихле это другое.

Ну примените, положим, и что? Равномерной сходимости на отрезке не будет (то есть даже признак Дирихле ее не даст), и если вам нужен ответ не про нее, а про непрерывность, вы ничего не сможете сказать. Из отсутствия равномерной сходимости ничего не следует.

pop4ik в сообщении #1659224 писал(а):

Я вообще не уверен что ряд непрерывный в окрестностях нуля

Правильно не уверены. Сумма ряда в нуле разрывна.

ООО, это хорошо, спасибо!!

[Ende]

pop4ik
Набирайте в $\TeX$ все формулы, а не одну. В этот раз поправил сам, в следующий раз поедем в Карантин.

[pop4ik]

Combat Zone в сообщении #1659310 писал(а):

pop4ik в сообщении #1659224 писал(а):

принцип Дирихле

Признак Дирихле. Принцип Дирихле это другое.

Ну примените, положим, и что? Равномерной сходимости на отрезке не будет (то есть даже признак Дирихле ее не даст), и если вам нужен ответ не про нее, а про непрерывность, вы ничего не сможете сказать. Из отсутствия равномерной сходимости ничего не следует.

pop4ik в сообщении #1659224 писал(а):

Я вообще не уверен что ряд непрерывный в окрестностях нуля

Правильно не уверены. Сумма ряда в нуле разрывна.

Я вот следующим образом расписал ряд в точке $x$
$f(x) = \frac{3}{4}(\sum \frac{\sin(nx)}{n} - \sum \frac{\sin(3nx)}{3n})$ Проблема в чем: мы же не знаем для конкретного икса к какому числу сходится ряд, а потому не можем указать чему будет равна разность $|f(x) - f(y)|$. Значит нужно придумать какую то умную $\left\lbrace x_n \right\rbrace$ и $\left\lbrace y_n\right\rbrace$, которые бы сходилась к нулю, но разница $|f(x_n) - f(y_n)|$ была бы ограничена снизу. Но я не очень понимаю, что делать дальше. Можете помочь, пожалуйста?

[Ende]

pop4ik
Чтобы процитировать нужный фрагмент сообщения, выделите его мышкой и нажмите кнопку "Вставка" под этим сообщением. (Именно под этим, иначе припишете цитату не тому человеку).

[мат-ламер]

pop4ik в сообщении #1659334 писал(а):

Проблема в чем: мы же не знаем для конкретного икса к какому числу сходится ряд,

Это можно подсчитать. См., например, пример 3018 из Демидовича. Можно подсчитать и конечную сумму. Но формулы там будут позаковыристей. Возможно в явном виде можно будет найти экстремум для конечной суммы (не знаю, не пробовал). Или хотя бы оценить его (более правдоподобно). Отсюда оценить значение аргумента, для которого конечная сумма будет сильно меньше предельного значения. (Или оценить величину горба. Возможны варианты). Думаю, что тут будет наблюдаться феномен Гиббса, т.е. горб будет всё время выпирать, хотя и стремиться к нулю (по аргументу).

[Combat Zone]

pop4ik

pop4ik в сообщении #1659334 писал(а):

Проблема в чем: мы же не знаем для конкретного икса к какому числу сходится ряд

Это проблема. Потому что вы действительно можете не знать: равномерную сходимость и непрерывность сумм рядов обычно рассказывают до этого материала. Если вы, конечно, в процессе изучения курса матанализа или чего-то в этом роде.

Если уже нет - у вас ряды Фурье. Их сумма, в общем, известна, а в частности, можно найти, например, так, как подсказывает мат-ламер и Демидович. Там в начале параграфа есть нужный материал, хотя попыхтеть придется. Но без общего знания о рядах Фурье будет все равно сложновато.

-- 24.10.2024, 01:22 --

мат-ламер в сообщении #1659377 писал(а):

Это можно подсчитать. См., например, пример 3018 из Демидовича. Можно подсчитать и конечную сумму. Но формулы там будут позаковыристей. Возможно в явном виде можно будет найти экстремум для конечной суммы (не знаю, не пробовал). Или хотя бы оценить его (более правдоподобно). Отсюда оценить значение аргумента, для которого конечная сумма будет сильно меньше предельного значения. (Или оценить величину горба. Возможны варианты). Думаю, что тут будет наблюдаться феномен Гиббса
, т.е. горб будет всё время выпирать, хотя и стремиться к нулю (по аргументу).

Это очень интересная информация, из которой полезно ровно одно: упоминание номера. Все остальное после этого вообще непонятно зачем.

[мат-ламер]

Combat Zone в сообщении #1659401 писал(а):

Это очень интересная информация, из которой полезно ровно одно: упоминание номера. Все остальное после этого вообще непонятно зачем.

Там ТС пытался найти умные последовательности:

pop4ik в сообщении #1659334 писал(а):

Значит нужно придумать какую то умную $\left\lbrace x_n \right\rbrace$ и $\left\lbrace y_n\right\rbrace$

Если есть вопросы, зачем ему это нужно, то спрашивайте его.

-- Чт окт 24, 2024 08:31:23 --

Combat Zone в сообщении #1659401 писал(а):

Все остальное после этого вообще непонятно зачем.

У меня рассуждения в духе примера 10.32.б из третьего тома задачника Виноградовой и др. При этом доказывается даже более сильное утверждение: отсутствие равномерной сходимости на интервале $(0,...$ .

[Combat Zone]

мат-ламер
Почему вы называете это более сильным утверждением? В сравнении с чем?

В общем, неважно, пусть ТС разбирается, мы ему достаточно накидали соображений.

мат-ламер в сообщении #1659406 писал(а):

Если есть вопросы, зачем ему это нужно, то спрашивайте его.

Тут вопросов у меня не было.

[мат-ламер]

Combat Zone

(Оффтоп)

Combat Zone в сообщении #1659416 писал(а):

мат-ламер
Почему вы называете это более сильным утверждением? В сравнении с чем?

В общем, неважно

Если это неважно, то разрешите мне не отвечать на ваш вопрос. Лично я зашёл в эту тему, чтобы помочь ТС и ответить на его конкретный вопрос. Теперь сильно об этом жалею. Может он пошёл не самым оптимальным путём. (А почему он должен идти самым оптимальным путём, если он заранее не знает ответ?)

Если вы зашли в тему помочь ТС, то разговаривайте с ним, а не со мной. Если вы считаете, что я его информирую неправильно, то так и пишите ему, что я глубоко неправ.

В соседней теме про марковские цепи пошли наезды на меня, что

Combat Zone в сообщении #1659204 писал(а):

мат-ламер в этой теме слишком часто меняет показания

Yadryara в сообщении #1659207 писал(а):

Видимо, он невнимательно читал условие и полагает что игра заканчивается только при двух 6-ках ??

Так-то $\frac{11}{36}$.

И я решил из той темы выйти. Поскольку вместо помощи ТС, тема превращается в выяснение отношений, кто тут помогает ТС наиболее правильно. При этом о ТС забывают.

[Combat Zone]

мат-ламер в сообщении #1659417 писал(а):

И я решил из той темы выйти.

Интересно, я тоже. Но не из-за вас, вы ничего такого не делали. А потому что ТС потерял к ней интерес.
Сейчас и этому некогда. Так что могу и я выйти, что можно было, уже прозвучало.

(Оффтоп)

Я не могу писать ТС, что вы неправы, если вы говорите вещи правильные, но на мой взгляд, не имеющие отношения к теме. Потому и спрашиваю в первую очередь у вас, правильно ли я вас понимаю. А вы вскидываетесь, словно на вас нападают.