Неравенство Диананды

[genk]

Здравствуйте.Речь пойдет о неравенстве
\dfrac{x_1}{x_2+x_3}+\dfrac{x_2}{x_3+x_4}+\dots+\dfrac{x_{n-2}}{x_{n-1}+x_n}+\dfrac{x_{n-1}}{x_n+x_1}+\dfrac{x_n}{x_1+x_2}\geqslant\dfrac{n}{2} для всех x_i\geqslant0,n\geqslant3.
Равенство достигается,например,при x_i=a,a>0-любое вещественное число.Когда-то на кружке при ЛГУ мы обсуждали это неравенство,но прошло уже много лет,и я располагаю лишь следующими фактами.
Известно,что неравенство справедливо для n=3,4,5,6,7,8,9,10 и то,что оно неверно при n=14,16,18,20,22,24 и всех n\geqslant26.
Известно также,что для всех n\geqslant3 справедлив ослабленный вариант неравенства,где в правой части \dfrac{n}{2} заменяется на \gamma\cdot\dfrac{n}{2} при \gamma=0.989 (результат юного Дринфельда;для конкретных n оценка,возможно,улучшаема).
Таким образом,остается под вопросом справедливость неравенства при n=11,12,13,15,17,19,21,23 и 25. Каково положение дел в настоящее время,мне неизвестно(все-таки появилась мощная вычислительная база).

[Rak so dna]

genk в сообщении #1659216 писал(а):

остается под вопросом справедливость неравенства при n=11,12,13,15,17,19,21,23 и 25.

Для $n=11,12,13,15,17,19,21,23$ — верно, для $n=25$ неверно.

[skobar]

genk в сообщении #1659216 писал(а):

Здравствуйте.Речь пойдет о неравенстве
\dfrac{x_1}{x_2+x_3}+\dfrac{x_2}{x_3+x_4}+\dots+\dfrac{x_{n-2}}{x_{n-1}+x_n}+\dfrac{x_{n-1}}{x_n+x_1}+\dfrac{x_n}{x_1+x_2}\geqslant\dfrac{n}{2} для всех x_i\geqslant0,n\geqslant3.
Равенство достигается,например,при x_i=a,a>0-любое вещественное число.Когда-то на кружке при ЛГУ мы обсуждали это неравенство,но прошло уже много лет,и я располагаю лишь следующими фактами.
Известно,что неравенство справедливо для n=3,4,5,6,7,8,9,10 и то,что оно неверно при n=14,16,18,20,22,24 и всех n\geqslant26.
Известно также,что для всех n\geqslant3 справедлив ослабленный вариант неравенства,где в правой части \dfrac{n}{2} заменяется на \gamma\cdot\dfrac{n}{2} при \gamma=0.989 (результат юного Дринфельда;для конкретных n оценка,возможно,улучшаема).
Таким образом,остается под вопросом справедливость неравенства при n=11,12,13,15,17,19,21,23 и 25. Каково положение дел в настоящее время,мне неизвестно(все-таки появилась мощная вычислительная база).

Насколько я помню, у Дринфельда доказано, что его константа \gamma=0.989... - точная (но могу и ошибаться).
Опровергающий пример для n=25 мы с ещё одним товарищем (Фошкиным) построили в 1991 году. Просто методом проб и ошибок загоняли числа и смотрели результат. Опровергающий пример был найден часа за три. В качестве "мощной вычислительной базы" использовался советский настольный агрегат "Искра" - такой калькулятор весом в несколько килограмм :)

[Rak so dna]

skobar в сообщении #1659261 писал(а):

Насколько я помню, у Дринфельда доказано, что его константа $\gamma=0.989...$ - точная (но могу и ошибаться).

Если $\gamma$ трансцендентно (а оно скорее всего трансцендентно), то оценки для каждого конкретного $n$ точно улучшаемы, поскольку неравенство является алгебраическим с целыми коэффициентами.

[genk]

Rak so dna
Большое спасибо.Поделом мне за "снобизм" к научно-популярным журналам.Времени хватало лишь на просмотр "Мат.просвещение","Мат-ка в школе" и т.п.,а вот "Квант"-от случая к случаю,не попал на нужный номер.Еще раз благодарю за то,что первыми откликнулись.