Пустое множество является/не является подмножеством другого

[alex101]

a∈∅ ⇒ a∈A верно потому что если построить отрицание, получится что ∃a∈∅ : a∉A - что невозможно поскольку в пустом множестве нет элементов, значит верное обратное.
Но можно ли тогда сказать следующее: ∃a∈∅ : a∈A невозможно поскольку в пустом множестве нет элементов, значит истинно что a∈∅ ⇒ a∉A и пустое множество не является подмножеством любого множества.. не улавливаю почему первое ОК, а второе не ОК.

[Dedekind]

alex101
Потому что вот это:

alex101 в сообщении #1658649 писал(а):

a∈∅ ⇒ a∉A

не является отрицанием вот этого:

alex101 в сообщении #1658649 писал(а):

∃a∈∅ : a∈A

И поставьте лучше кванторы везде где нужно, а не выборочно.

[alex101]

Dedekind в сообщении #1658652 писал(а):

alex101
Потому что вот это:

alex101 в сообщении #1658649 писал(а):

a∈∅ ⇒ a∉A

не является отрицанием вот этого:

alex101 в сообщении #1658649 писал(а):

∃a∈∅ : a∈A

Вот оно что, а как тогда правильно построить отрицание ? Я думал, что алгоритм такой: ∀ заменяется на ∃, ⇒ на : , а затем отрицание высказывания. Тогда '∀a∈∅' заменяется на '∃a∈∅', '⇒ a∉A' на ':a∈A' , я не могу увидеть где ошибаюсь

[Geen]

alex101 в сообщении #1658666 писал(а):

Я думал, что алгоритм такой:

Алгоритм такой: 1) прочитать Правила форума (в частности, пункт I.1.м)); 2) прочитать Правила раздела...

alex101 в сообщении #1658666 писал(а):

∀ заменяется на ∃, ⇒ на :

Что означают все эти (неправильно набранные) значки? Напишите подробно, пожалуйста.

[Dedekind]

alex101 в сообщении #1658666 писал(а):

а как тогда правильно построить отрицание ?

Импликация $A\Rightarrow B$ эквивалентна $\neg A \lor B$. Отрицание импликации тогда будет, соответственно, $\neg(A\Rightarrow B) = \neg (\neg A \lor B) = \neg (\neg A) \land \neg B = A\land \neg B$.
Воспользуйтесь этими формулами и попробуйте построить отрицание Вашей импликации.

Да, и вот это неправильно

alex101 в сообщении #1658666 писал(а):

'∀a∈∅' заменяется на '∃a∈∅'

Должно быть: $\neg(\forall a: a \in \varnothing) = \exists a: a\notin \varnothing$

[Mikhail_K]

alex101 в сообщении #1658649 писал(а):

∃a∈∅ : a∈A невозможно поскольку в пустом множестве нет элементов, значит истинно что a∈∅ ⇒ a∉A

Это верно.

alex101 в сообщении #1658649 писал(а):

и пустое множество не является подмножеством любого множества

А это неверно.

$M\subset N$ означает, что $\forall a\in M,\,a\in N$.
А вот $M\not\subset N$ записывается вовсе не так $\forall a\in M,\,a\notin N$ - а как? Вроде бы Вы это понимаете, так что запишите на языке кванторов, что означает $M\not\subset N$.
И тогда увидите, что $a\in\varnothing\,\to\,a\notin A$ и $\varnothing\not\subset A$ - разные утверждения. Первое верное, второе неверное.

И да, как сказано выше, все формулы на форуме обязательно оформлять в формате LaTeX. Наведите курсор мыши на формулы в моём сообщении и увидите, какой код надо набрать, чтобы получились такие формулы. Без правильного оформления формул на вопросы здесь не отвечают.

[alex101]

Dedekind в сообщении #1658670 писал(а):

alex101 в сообщении #1658666 писал(а):

а как тогда правильно построить отрицание ?

Импликация $A\Rightarrow B$ эквивалентна $\neg A \lor B$. Отрицание импликации тогда будет, соответственно, $\neg(A\Rightarrow B) = \neg (\neg A \lor B) = \neg (\neg A) \land \neg B = A\land \neg B$.
Воспользуйтесь этими формулами и попробуйте построить отрицание Вашей импликации.

Да, и вот это неправильно

alex101 в сообщении #1658666 писал(а):

'∀a∈∅' заменяется на '∃a∈∅'

Должно быть: $\neg(\forall a: a \in \varnothing) = \exists a: a\notin \varnothing$

понял, большое спасибо что нашли время объяснить !

-- 15.10.2024, 18:15 --

Mikhail_K в сообщении #1658671 писал(а):

alex101 в сообщении #1658649 писал(а):

∃a∈∅ : a∈A невозможно поскольку в пустом множестве нет элементов, значит истинно что a∈∅ ⇒ a∉A

Это верно.

alex101 в сообщении #1658649 писал(а):

и пустое множество не является подмножеством любого множества

А это неверно.

$M\subset N$ означает, что $\forall a\in M,\,a\in N$.
А вот $M\not\subset N$ записывается вовсе не так $\forall a\in M,\,a\notin N$ - а как? Вроде бы Вы это понимаете, так что запишите на языке кванторов, что означает $M\not\subset N$.
И тогда увидите, что $a\in\varnothing\,\to\,a\notin A$ и $\varnothing\not\subset A$ - разные утверждения. Первое верное, второе неверное.

И да, как сказано выше, все формулы на форуме обязательно оформлять в формате LaTeX. Наведите курсор мыши на формулы в моём сообщении и увидите, какой код надо набрать, чтобы получились такие формулы. Без правильного оформления формул на вопросы здесь не отвечают.

разобрался, спасибо Вам за подробности.

За формулы прошу прощения, в следующий раз создам тему нормально.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.