Равнобедренные треугольники с целочисленными вершинами

[Mash_7]

Добрый день!
Подскажите пожалуйста, есть ли какой-то относительно простой способ генерировать равнобедренные треугольники, у которых были бы целочисленные вершины? Когда одна сторона параллельна какой-то из осей это легко, но если нужно чтобы они были расположены произвольно?
Был вариант взять взять какой-то простой равнобедренный треугольник — например, с вершинами (0,0), (2,0), (1,1) и его вращать с помощью матрицы поворота и сдвигать параллельным переносом, но там целочисленные вершины не обязаны получаться.

[Booker48]

Вершина - целочисленная точка на прямой $y=x$, координаты точек основания - две любые целочисленные точки, симметричные относительно этой прямой.
Плюс все те треугольники, которые получаются из этих целочисленным сдвигом.

[Booker48]

Если предположить, что вершина находится в точке $(0, 0)$, то задача сведётся к решению диофантова уравнения $x_1^2 +y_1^2=x_2^2+y_2^2$.
Например, точки $(1, 7)$ и $(5, 5)$ равноудалены от точки $(0, 0)$, а так же $(-1, 7), (-1, -7)$ и т.д..
Поэтому только с одной из сторон $(0, 0), (1, 7)$ имеем $10$ равнобедренных треугольников с вершинами в целочисленных точках.

[Mash_7]

Booker48, спасибо! С вершиной в начале координат это конечно немного просто, но хотя бы так. Но хотелось бы какой-то алгоритм, может есть ещё какие-то подходы. Кроме перебора )

[Booker48]

Mash_7 в сообщении #1658454 писал(а):

С вершиной в начале координат это конечно немного просто, но хотя бы так.

Это не просто, это исчерпывающе. Хотя задача поставлена чрезмерно расплывчато. Просто генерировать равнобедренные треугольники с целочисленными координатами - какие проблемы? Фиксируете координаты вершин основания - и увеличивайте высоту, пока Вселенная не схлопнется.
Имеет смысл искать, например, все равнобедренные треугольники внутри окружности какого-то радиуса. И без разницы, с центром в начале координат, или нет - ищете с центром в начале, потом сдвигаете куда надо.
А перебор - ну, решите диофанта без перебора, значит джек-пот ваш. Сначала надо определиться с тем, как искать.

[adfg]

Mash_7 писал(а):

Подскажите пожалуйста, есть ли какой-то относительно простой способ генерировать равнобедренные треугольники, у которых были бы целочисленные вершины?

Берем 2 любые точки с целочисленными координатами, соединяем их отрезком. Этот отрезок считаем высотой (она же медиана и биссектиса треугольника). Основание будет, очевидно, ортогонально этой высоте. Высота определяет целочисленный вектор нормали к основанию, полученный вычитанием из одной точки другой. Затем двигаемся от любой из этих точек в направлении вектора, ортогонального вектору нормали (тоже целочисленному) с целым шагом в обе стороны, получим таким образом кучу равнобедренных треугольников

[Shadow]

adfg в сообщении #1658482 писал(а):

Берем 2 любые точки с целочисленными координатами, соединяем их отрезком. Этот отрезок считаем высотой

На самом деле координаты середины основания не обязаны быть целыми, могут быть и полуцелыми. Ну ладно, где целые, там и рациональные. Я решал двумя способами - с диофантовым $a^2+b^2=c^2+d^2$ kak Booker48 и переместив середину основания в т. $(0,0)$ (если в рациональных, то можно). С двумя прямыми: $y=kx$ и $y=-\frac 1 k x$. (и про $x=0$ не забыл). В обеих случаях получается $4+2$ параметрическое решение (два параметра - смещение по $x$ и $y$ той точки которую выбрали поставить в начале координат). В отличие от просто решения диофантового уравнения, в геометрической интерпретации нужно учитывать несколько факторов:
1. Точки не должны совпадать. (вершины)
2. Не должны лежать на одной прямой.
3. Решения, где две вершины просто "меняются местами" считать одинаковыми и избегать (фильтрировать).
Приятная задачка получается.