2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Симпатичная ТЧ
Сообщение11.10.2024, 20:32 


26/08/11
2097
Для натуральных $a,b,c$ и простое $p$ известно, что:

$a<b<c<p$
и
$a^3 \equiv b^3 \equiv c^3 \pmod p$

Докажите, что

$(a+b+c) \mid (a^2+b^2+c^2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичная ТЧ
Сообщение12.10.2024, 00:00 
Заслуженный участник


20/04/10
1866
$p-1=3n$
Пусть $g$ -- первообразный корень по модулю $p$. Тогда $a=g^{k}\mod{p}$, $b=g^{k+n}\mod{p}$, $c=g^{k+2n}\mod{p}$. Отсюда $a+b+c\equiv g^k(g^{3n}-1)(g-1)^{-1}\equiv 0\pmod p$. Тогда $a+b+c=p$, либо $a+b+c=2p$, так как $a<b<c<p$. Если $a+b+c=p$, то $a^2+b^2+c^2\equiv g^{2k}(1+g^{2n}+g^{4n})\equiv 0\pmod p$. Если $a+b+c=2p$, то аналогично $a^2+b^2+c^2\equiv 0\pmod p$, а также $$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=4p^2-2(ab+ac+bc)\equiv 0\pmod 2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичная ТЧ
Сообщение12.10.2024, 11:34 


26/08/11
2097
lel0lel
Верно. (Делимость $a+b+c$ и $a^2+b^2+c^2$ на $p$ можно доказать, не выходя за рамки школьной программы)

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичная ТЧ
Сообщение13.10.2024, 18:49 
Заслуженный участник


20/04/10
1866
Shadow, спасибо и плюс Вам за задачу и проверку. Школьным методом может быть как-нибудь попробую решить. Думаю, нужно начать с разностей кубов, но сейчас нет времени вдумываться, а решение так сразу не видно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичная ТЧ
Сообщение29.10.2024, 13:15 


05/09/16
12023
Покажем "по школьному", что сумма $a+b+c$ делится на $p$
Поскольку все числа меньше $p$, то они не делятся на $p$ и поскольку они различны то остатки от деления различны
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\equiv 0 \pmod p$
Первая скобка на $p$ не делится, значит вторая делится:
$a-b \ne 0 \pmod p \to a^2+ab+b^2 \equiv 0 \pmod p$

Имеем:
$a^2+ab+b^2 \equiv 0 \pmod p$
$b^2+bc+c^2 \equiv 0 \pmod p$

Вычитаем уравнения, имеем:
$a^2+ab+b^2 - (b^2+bc+c^2) \equiv 0 \pmod p$
Раскрываем скобки
$a^2 - c^2 + ab - bc \equiv 0 \pmod p$
Раскладываем на множители, приводим подобные:
$(a-c)(a+c+b) \equiv 0 \pmod p$
Поскольку $a-c\ne 0 \pmod p$, значит $a+b+c\equiv 0 \pmod p$

Как показать что сумма квадратов тоже делится на $p$ пока не придумал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичная ТЧ
Сообщение29.10.2024, 16:25 


26/08/11
2097
wrest, абсолютно верно.
wrest в сообщении #1660029 писал(а):
Как показать что сумма квадратов тоже делится на $p$ пока не придумал.
wrest в сообщении #1660029 писал(а):
Имеем:
$a^2+ab+b^2 \equiv 0 \pmod p$
$b^2+bc+c^2 \equiv 0 \pmod p$

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичная ТЧ
Сообщение29.10.2024, 19:12 


05/09/16
12023
Shadow
Ну я знаю что $a^2+b^2+c^3$ и $ab+bc+ac$ делятся на $p$, но пока не понял как это показать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичная ТЧ
Сообщение29.10.2024, 19:54 


26/08/11
2097
wrest Третье сравнение напишите и сложите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичная ТЧ
Сообщение29.10.2024, 21:51 


29/10/24
2
Необходимые неэлементарные факты: в $\mathbb{Z}_p$ есть образующий элемент, условие обратимости по модулю.

Всё представляем как степень образующего элемента
a=q^n mod p
b=q^m mod p
c=q^k mod p
Дальше оперируем ТОЛЬКО СТЕПЕНЯМИ по модулю p-1. a=b=c тогда и только тогда когда эти степени равны.

Пусть p-1 не делится на 3
a^3=q^3n mod p
b^3=q^3m mod p
c^3=q^3k mod p
3n=3m=3k mod (p-1)
3 обратим по модулю p-1, значит имеем право сократить на 3
Значит a=b=c и задача решена

Пусть p-1 делится на 3
a^3=q^3n mod p
b^3=q^3m mod p
c^3=q^3k mod p
3n=3m=3k mod (p-1)
По определению делимости по модулю
3n-3m=(p-1)s
n-m=(p-1)/3*s, аналогично n-k=(p-1)/3*w
n=m=k mod (p-1)/3
n=m=k=r+(p-1)/3*d, d=0,1,2 т.к. степень больше p-1 не имеет смысла

ЗАБЫВАЕМ ПРО ВСЕ МОДУЛИ. Мы знаем степени чисел a,b,c. Оперируем числами a,b,c,q самими по себе. Теперь всё строго элементарно.

a=b=c=q^(r+(p-1)/3*d), d=0,1,2
a+b+c=q^r(1+q^((p-1/3)+q^(2(p-1)/3))=q^r(1+A+A^2)
a^2+b^2+c^2=q^2r(1+A^2+A^4)

(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)=q^r*(1+A^2+A^4)/(1+A+A^2)

Почему (1+A^2+A^4) делится на (1+A+A^2)

1+A^2+A^4=1+2A^2+A^4-A^2=(1+A^2)^2-A^2=(1+A^2-A)*(1+A^2+A)

Задача решена полностью

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичная ТЧ
Сообщение29.10.2024, 22:22 
Админ форума


02/02/19
2460
 !  Metros
Оформляйте формулы в $\TeX$. В следующий раз снесу в карантин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичная ТЧ
Сообщение30.10.2024, 22:30 


05/09/16
12023
Shadow в сообщении #1660052 писал(а):
Третье сравнение напишите и сложите.

Ну тут у меня не вполне хватает знаний.
Есть такие мысли.
Складываем сравнения
$2(a^2+b^2+c^2)+ab+ac+bc \equiv 0 \pmod p$
Переписываем так:
$$ab+ac+bc \equiv -2(a^2+b^2+c^2) \pmod p \eqno(1)$$

Поскольку
$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)$ то подставляя сюда $ab + ac + bc$ из $(1)$ получаем
$$(a+b+c)^2 \equiv - 3(a^2+b^2+c^2) \pmod p \eqno(2)$$
Из $(2)$ должно следовать что раз $a+b+c\equiv 0 \pmod p$ то и $a^2 + b^2 + c^2 \equiv 0 \pmod p$ (т.к. $p$ простое и на 3 не делится). Но тут я не уверен. Одновременно из $(1)$ бонусом следует что $ab+ac+bc\equiv 0 \pmod p$ т.к. $p$ простое и не делится на $2$

P.S. В этой части не обошлось без помощи ИИ :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичная ТЧ
Сообщение31.10.2024, 09:41 


26/08/11
2097
wrest, конечно. Тут элементарная арифметика. Как может "не хватать знаний"
wrest в сообщении #1660140 писал(а):
$2(a^2+b^2+c^2)+ab+ac+bc \equiv 0 \pmod p$
Сразу сводим к чему-то уже знакомому, раз уже знаем, что $a+b+c \equiv 0$:

$2(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca) \equiv 0 \Longrightarrow 3(ab+bc+ca) \equiv 0$

$p>3 \Longrightarrow ab+bc+ca \equiv 0 \Longrightarrow (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) \equiv 0 \pmod p$

wrest в сообщении #1660140 писал(а):
т.к. $p$ простое и на 3 не делится). Но тут я не уверен
А как же
Shadow в сообщении #1658248 писал(а):
$a<b<c<p$
На самом деле $p \equiv 1 \pmod 6$ и для любого такого простого существуют по крайней мере две тройки $(a,b,c)$ удовлетворяющие условию задачи. (наверное, ровно две).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihiv, ИСН


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group