Уравнение Лапласа

[paranoidandroid]

Докажите, что функция $f(x,y)=(|x-y|)^{-1}$ является решением уравнения Лапласа $\Delta u_{x}f=0$ и $x,y \in R^2$ .

доказательство: $x=(x_{1},x_{2})$ , $y=(y_{1} , y_{2})$ И по условию ($\Delta u_{x}f=0$) $y_{1}= \operatorname{const}$ , $y_{2}= \operatorname{const} $. Пусть $r=|x-y|=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}$

$\frac{\partial}{\partial x_{1}} \frac{1}{r}=-\frac{1}{r^2} \frac{x_{1}-y_{1}}{r}=-\frac{x_{1}-y_{1}}{r^3}$

$\frac{\partial}{\partial x^2_{1}}(-\frac{x_{1}-y_{1}}{r^3})=-\frac{-r^3-3r(x_{1}-y_{1})^{2}}{r^6}$


$\frac{{\partial}^2}{\partial x^{2}_{2}} \frac{1}{r}=-\frac{-r^3-3r(x_{2}-y_{2})^{2}}{r^6}$

Но

$\frac{{\partial}^2}{\partial x^{2}_{1}} \frac{1}{r} +\frac{{\partial}^2}{\partial x^{2}_{2}} \frac{1}{r}=\frac{1}{r^4} \neq 0 $.

[drzewo]

paranoidandroid в сообщении #1658229 писал(а):

Докажите, что функция $f(x,y)=(|x-y|)^{-1}$ является решением уравнения Лапласа $\Delta u_{x}f=0$ и $x,y \in R^2$

думаю, что во вменяемом варианте этой задачи должно быть $\mathbb{R}^3$

[Red_Herring]

drzewo в сообщении #1658231 писал(а):

думаю, что во вменяемом варианте этой задачи должно быть $\mathbb{R}^3$

Даже и это не совсем верно, т.к. решением она будет только вне начала координат.

paranoidandroid, Неужели так трудно проверять написанное?

[paranoidandroid]

drzewo АА да да да... Если $x,y \in R^3$ то все в норме Большое спасибо.

$(\Delta_{x} +k^2)\frac{e^{ikr}}{r}=0$ и $x,y \in R^3$ Где $r=|x-y|=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}$

$\frac{\partial}{\partial x_{1}} \frac{e^{ikr}}{r}=\frac{ike^{ikr}(x_{1}-y_{1})-\frac{e^{ikr}(x_{1}-y_{1})}{r}}{r^2}=(ik-\frac{1}{r})\frac{e^{ikr}(x_{1}-y_{1})}{r^2}$ и т.д.

Но посчитать здесь производные и потом упростить очень сложно

[Утундрий]

paranoidandroid в сообщении #1658239 писал(а):

посчитать здесь производные и потом упростить очень сложно

По Колмогорову?

[paranoidandroid]

Утундрий А это как?

[Утундрий]

Колмогоровская сложность

[paranoidandroid]

(Оффтоп)

Утундрий Спасибо вам большое

[svv]

paranoidandroid
Вам известно, как выглядит лапласиан скалярной функции в сферических координатах $(r,\theta,\varphi)$ ? Это выражение ещё упрощается, если функция зависит только от $r$, как в обеих Ваших задачах.