Квадратный корень из числа

[Andrey from Mos]

Привет участникам форума!

Появился вопрос на счет извлечения квадратного корня.
Можно ли утверждать, что извлечение квадратного корня дает модуль числа, а не само число?
Например, можно ли написать:
$\sqrt{16}=\left\lvert\pm4\right\rvert=4?$
А тогда само число получается 4 или -4.
Или вот, например,: $x^2=9$
В школе приучают писать $x=\pm \sqrt{9}$
Откуда эти плюс-минус берутся? Может, происходят от раскрытия модуля в левой части?

[Утундрий]

Andrey from Mos
Вы церковно-приходскую кончали?

[Mihr]

Andrey from Mos в сообщении #1657275 писал(а):

Или вот, например,: $x^2=9$
В школе приучают писать $x=\pm \sqrt{9}$

Всё правильно. Потому что решить уравнение вида $x^2=a$ и извлечь (арифметический) корень из числа $a$ - это вовсе не одно и то же. Посмотрите в учебнике определение квадратного корня: как оно даётся в школе?

[warlock66613]

Andrey from Mos в сообщении #1657275 писал(а):

Можно ли утверждать, что извлечение квадратного корня дает модуль числа, а не само число?

Нет. Но зато есть такая формула (в школе проходят): $\sqrt{a^2}=|a|$.

[Andrey from Mos]

То Warlock66613:
Интересно получается: по приведенному вами уравнению корень квадратный равен модулю. Но вы пишете, что говорить так нельзя и моя фраза не верна. Как это может быть? А если вместо "корень" поставить "арифметический корень"?

To Mihr:
Школьного учебника не нашел, нашел сканави. Там говорится, что обычно корень квадратный рассматривается как арифметический корень. Тогда я делаю вывод, что всякий квадратный корень из числа это арифм. корень, то есть положительное значение. А а приведённом уравнении x^2=9 речь идёт о нахождении всех возможных корней. Тогда получается, что решение уравнения даёт плюс-минус три. А корень из 16 (в примере выше) это только 4.

[Dedekind]

Andrey from Mos в сообщении #1657348 писал(а):

всякий квадратный корень из числа это арифм. корень

Верно, если дело происходит в вещественных числах. Для комплексных могут быть нюансы. Но если Вы еще до них не дошли - то не заморачивайтесь.

Andrey from Mos в сообщении #1657348 писал(а):

Тогда получается, что решение уравнения даёт плюс-минус три. А корень из 16 (в примере выше) это только 4.

Все правильно. Решение уравнения - это число, которое при подстановке в уравнение дает верное равенство. Для $x^2=9$ таких чисел два: $+3$ и $-3$. А арифметический корень - это только положительное число.

[warlock66613]

Andrey from Mos в сообщении #1657348 писал(а):

по приведенному вами уравнению корень квадратный равен модулю

Квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа. Сравните со своей фразой, видите отличие?

[Mihr]

Andrey from Mos в сообщении #1657348 писал(а):

корень квадратный равен модулю

Вы ужасно выражаетесь. Как это "корень равен модулю"? Разве, например, $\sqrt{36}=|36|$? Видимо, Вы хотите сказать, что арифметический корень из числа совпадает со своим модулем? Это формулируется проще: арифметический корень - величина неотрицательная.

[Andrey from Mos]

Да, выражаюсь коряво. Лучше сказать, что корень из квадрата числа, равен модулю этого числа (как и сказал warlock66613). Но мне не понятен процесс решения приведенного квадратного уравнения. У меня есть подозрение, что когда говорят - икс равен плюс-минус три (или плюс-минус корень из девяти), то просто пропускают ход решения и прыгают сразу в конец.

Например, если мы из обеих частей уравнения извлечем квадратный корень, то тогда получим:
$\sqrt{x^2}=\sqrt{9}$, и отсюда:
$\left\lvert x \right\rvert=3$

Вроде бы получается всё, как уже было описано: квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа - в левой части (арифметический корень). А в правой получается тройка (тоже берется арифметический корень).
Но откуда мы знаем, что икс и отрицательный и положительный? Можно, конечно, об этом догадаться и проверить решение, подставив оба его значения.
Но, наверное, можно еще расписать формально так:
$ \left\lvert x \right\rvert=3=\begin{cases} 3,&\text{если x>0;}\\ -(-3),&\text{если x<0;} \end{cases} $
Как вы думете, правилен ли такой процесс решения и возможна ли такая запись?

[Утундрий]

Andrey from Mos в сообщении #1657391 писал(а):

возможна ли такая запись?

По сути она означает, что $0=0$. Насколько это полезно и нужно — решайте сами.

[Mihr]

Andrey from Mos в сообщении #1657391 писал(а):

мы знаем, что икс и отрицательный и положительный

Вообще-то, одна и та же величина не может быть сразу и положительной и отрицательной (и больше нуля и меньше нуля). Запись $x=\pm 3$ - это всего лишь удобное и общепринятое сокращение для записи $x=3 \vee x=-3$. Где знак $\vee$ читается "или" (не "и").
И надо просто запомнить, что для произвольных действительных чисел $x,a$ (таких, что $a \geqslant 0$, а $x$ - любое) имеет место равносильность $|x|=a \Leftrightarrow x=\pm a$. Мне кажется, это нетрудно.

[warlock66613]

Andrey from Mos в сообщении #1657391 писал(а):

мне не понятен процесс решения приведенного квадратного уравнения

Процесс решения простой и основан на соотношении $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Например:

$$x^2 = 9,$$

$$x^2-3^2=0,$$

$$(x-3)(x+3)=0$$

$$ \left[ \begin{array}{rcl} x-3 &=& 0 \\ x+3 &=& 0 \end{array} \right. $$

$$ \left[ \begin{array}{rcl} x &=& 3 \\ x &=& -3 \end{array} \right. $$

[Andrey from Mos]

Поясню, откуда вообще этот вопрос появился. Изначально нужно было решить
неравенство $x^2<9$. По привычке написал $x<\pm \sqrt{9}$. Получилась ерунда.
Тогда и стал разбираться с корнями и с ходом решения квадратных уравнений и таких вот неравенств

to wardock66613:
мне кажется, что в третьей строчке вашего текста есть логическое несоотвествие. Вы написали тройку в квадрате, значит, вы уже знаете решение. Если ответ задачи известен, то, конечно, можно расписать.

[Mihr]

Andrey from Mos в сообщении #1657431 писал(а):

Поясню, откуда вообще этот вопрос появился. Изначально нужно было решить
неравенство $x^2<9$.

Тогда Вы вообще не с того конца зашли. Вы бы сэкономили себе время, если бы сразу задали именно интересующий Вас вопрос.

Andrey from Mos в сообщении #1657431 писал(а):

По привычке написал $x<\pm \sqrt{9}$. Получилась ерунда.

Неудивительно. Да и непонятно, откуда может взяться такая привычка. Ни в одной школе так не учат, это однозначно.
Вам нужно проштудировать тему "Решение неравенств методом интервалов".

[warlock66613]

Andrey from Mos, а это использовано другое свойство: $(\sqrt a)^2 = a$ для любого $a$, для которого обе части (левая и правая) имеют смысл.