2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача на вероятность
Сообщение03.10.2024, 23:40 


06/08/23
2
Встретилась задача, но для нее я не нашел решения и ответа. Я придумал 2 решения, но не понимаю какое из них верное и есть ли вообще среди них правильное?


Условие:
В коробке лежат 5 черных кубов и 5 белых кубов. Из коробки без возвращения вытаскивают 5 кубов. Известно, что из них 2 куба белые. Найди вероятность того, что другие три куба черные.


Решение 1:
Считаем, что 2 куба точно белые, оставшиеся 3 могут быть как черными, так и белыми т.е всего $C_{10-2}^{3}$ способов выбора этих 3.

При этом лишь $C_{5}^{3}$ способов удовлетворяют условию: 3 оставшихся выбраны из 5 черных.

Таким образом ответ: $\frac{C_{5}^{3}}{C_{8}^{3}} = \frac{5}{28}$.


Решение 2:

Введем события:
A - среди вытянутых пяти кубов, как минимум 2 точно белые.
X - оставшиеся 3 из 5 вытянутых кубов точно черные.

Нужно найти: $P(X|A)=\frac{P(X \cap A)}{P(A)}$

$X\cap A$ - это событие при котором достали 3 черных и 2 белых куба.
Всего способов достать 5 кубов из 10: $C_{10}^{5}$, достать 3 куба из 5 черных: $C_{5}^{3}$, достать 2 белых из 5 белых: $C_{5}^{2}$.
Тогда: $P(X \cap A) = \frac{C_{5}^{3} C_{5}^{2}}{C_{10}^{5}}$

Событие A включает в себя случаи когда вытянули: 2 белых и 3 черных, 3 белых и 2 черных, 4 белых и 1 черный, 5 белых кубов.
Тогда:
$P(A) =\frac{C_{5}^{2}C_{5}^{3} + C_{5}^{3}C_{5}^{2} + C_{5}^{4}C_{5}^{1} + C_{5}^{5}}{C_{10}^{5}} $

Отсюда ответ: $P(X|A)= \frac{50}{113}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на вероятность
Сообщение03.10.2024, 23:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5015
Первое решение верное. Второе я, честно, не смог понять :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на вероятность
Сообщение04.10.2024, 02:23 
Аватара пользователя


22/11/22
621
Второй правильный.
Первым способом вы первым делом достали и отложили в сторону два конкретных белых куба. В условии это не так. Это может быть любая пара. Так что этот способ приводит к ошибке.
"Длинную" вероятность во втором способе было бы быстрее считать через вероятность противоположного события.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на вероятность
Сообщение04.10.2024, 02:35 
Аватара пользователя


07/01/16
1612
Аязьма
Мне тоже второе решение больше нравится, и в нем можно не тратить время и силы на условную вероятность, а просто посчитать отношение числа способов вытянуть 2Б+3Ч к числу способов вытянуть не менее 2Б

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на вероятность
Сообщение04.10.2024, 02:36 
Аватара пользователя


22/11/22
621
waxtep
ну, фактически, это и происходит :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на вероятность
Сообщение04.10.2024, 03:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Первое решение не выглядит правдоподобным.

Запустила компьютерную симуляцию. Результат очень похож на 50/113

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на вероятность
Сообщение04.10.2024, 03:51 
Аватара пользователя


22/11/22
621
provincialka в сообщении #1657286 писал(а):
Запустила компьютерную симуляцию.

Зачем? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на вероятность
Сообщение04.10.2024, 03:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Потому что ночь и думать лень. А ответ узнать захотелось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на вероятность
Сообщение04.10.2024, 04:33 
Аватара пользователя


22/11/22
621
empfloo в сообщении #1657263 писал(а):
Условие:
В коробке лежат 5 черных кубов и 5 белых кубов. Из коробки без возвращения вытаскивают 5 кубов. Известно, что из них 2 куба белые. Найди вероятность того, что другие три куба черные.

Условная вероятность $P(A|B) = \dfrac {P(AB)}{P(B)}$ - это вероятность части события $A$, попавшей в событие $B$. Причем на второе смотрим как на пространство элементарных исходов. Так что событие $B$ состоит из пятерок кубов, в котором есть два белых. А событие $AB$ (т.е. часть события А (три черных), попавшее в В) - это как раз 2б3ч. Пятерок кубов такого вида $C^2_5C^3_5$, это посчитано выше. Больше сложностей вызывает пространство исходов $B$, и проще считать, что туда не попадет. А нет там пятерок, в которых только один белый куб и в которых ни одного. Так что $|B|=C^5_{10}-C^5_5-C^1_5C^4_5$.
Так что ответ должен быть как у ТС во втором способе, если нет ошибок по невнимательности у меня. У него там верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на вероятность
Сообщение04.10.2024, 08:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5015
Combat Zone в сообщении #1657278 писал(а):
Первым способом вы первым делом достали и отложили в сторону два конкретных белых куба. В условии это не так.

Да, не подумал как следует, виноват. На самом деле должно получиться отношение числа исходов, соответствующих событию "ровно два белых", к числу исходов, соответствующих событию "не менее двух белых". Так что нужно было начать с выражения

$\dfrac{C^2_5C^3_5}{C^2_5C^3_5+C^3_5C^2_5+C^4_5C^1_5+C^5_5C^0_5}$

После упрощения получается $\dfrac{50}{113}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на вероятность
Сообщение04.10.2024, 09:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7068
До кучи ещё один метод рассуждения. Вероятность того, что вынули по крайней мере два белых шара - $113/126$ . Вероятность того, что вынули ровно два белых шара - $50/126$ . Отсюда ответ - $50/113$ .

P.S. Пока набирал, появилось предыдущее сообщение с примерно таким же рассуждением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на вероятность
Сообщение04.10.2024, 11:48 


06/08/23
2
Я новичек на форуме, спасибо всем за ответы) Ваши сообщения помогли разобраться в чем я накосячил в 1 решении. Сегодня вечером приеду напишу подробно в чем конкретно ошибка и как не нужно рассуждать.
Даже как-то неловко, что из за глупости ввел в заблуждение людей.

Сама задача с отборочного в МТС Тета 2023.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на вероятность
Сообщение04.10.2024, 11:56 
Аватара пользователя


22/11/22
621
empfloo
Да бросьте, нормально все. В чем конкретно ошибка - уже там было выше, надеюсь, новых вы не нашли ) Но напишите, если вам самому так лучше разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на вероятность
Сообщение04.10.2024, 20:48 


30/09/24

3
empfloo в сообщении #1657333 писал(а):
Сама задача с отборочного в МТС Тета 2023.

Дайте ссылку на задачи :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на вероятность
Сообщение04.10.2024, 22:09 
Аватара пользователя


22/11/22
621
tomodachi
А волшебное слово? )
Забирайте.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group