Клин под дождем из гороха

[EUgeneUS]

Количество гороха на один склон (у вершины при угле альфа, используем чертеж уважаемого wrest):

$$\Delta N_{\alpha} = h v \Delta t \frac{\cos (\alpha+\gamma)}{\sin \alpha}$$

где $h$ - высота конька, $v$ - модуль скорости гороха в СО крыши, $\gamma$ - угол между вертикалью и скоростью гороха в СО крыши. Положительное направление $\gamma$ - в сторону угла $\beta$

Если требуем равенства количества, то

$$\Delta N_{\alpha} - \Delta N_{\beta} = h v \Delta t (\frac{\cos (\alpha+\gamma)}{\sin \alpha} - \frac{\cos (\beta-\gamma)}{\sin \beta}) = 0$$

С учетом $\alpha+\beta = \pi/2$ сворачивается в

$$\frac{2 \sin (\alpha - \beta+\gamma)}{\cos (\alpha - \beta)}=0$$

и $\alpha - \beta+\gamma = 0$

Значит мой решение и решение уважаемого drzewo противоречат условию "если угол при вершине равен $\pi /2$, то при равновесии количество гороха на оба склона одинаково".

[wrest]

EUgeneUS
Меня терзают смутные сомнения, что "установившийся режим" в случае неподвижной крыши и косо падающего гороха и движущейся пересчитываются один в другой не так.
Я-то везде пишу (и думаю) про неподвижную крышу и косой горох, а вы пересчитываете это в движущуюся и вертикальный горох. Может, тут лишняя двойка возникает?

[lel0lel]

wrest в сообщении #1657102 писал(а):

Ну хорошо. Пусть на неподвижную крышу из задачи (с прямым углом у конька) вертикально и одновременно падает по одной горошине на каждый скат. Допустим, левый скат более пологий. Куда (вправо или влево) поедет крыша после такого двойного удара?

Никуда не поедет, но условия задачи изменились -- концентрации частиц разные. Если вернуться к равным концентрациям, то число ударов гороха о крышу в установившемся режиме не будет равным.

[wrest]

lel0lel в сообщении #1657105 писал(а):

Если вернуться к равным концентрациям,

Вы пожете пояснить что значит "равные концентрации" и ранее упоминавшиеся "входящие объемы"?
Если на каждый скат вертикально падает по одной горошине в секунду, то это как я понимаю равные "входящие объемы" и крыша

lel0lel в сообщении #1657105 писал(а):

Никуда не поедет,

верно? И это будет установившийся режим.

[Утундрий]

wrest
Равномерность выпадения гороха из голубей здесь понимается так, что на каждый скат выпадает количество, пропорциональное длине его горизонтальной проекции.

[wrest]

Утундрий в сообщении #1657107 писал(а):

Равномерность выпадения гороха из голубей здесь понимается так, что на каждый скат выпадает количество, пропорциональное длине его горизонтальной проекции.

Это я хотел бы услышать от lel0lel
Это конечно так при вертикальном потоке гороха и неподвижной крыше.
Но мы же пытаемся определить, в том числе, при каком угле направления скорости горошин к вертикали, крыша не поедет (останется неподвижной). Но тогда поток надо считать не по проекции на горизонталь, а по проекции на перпендикуляр к направлению потока (перпендикуляр к скоростям горошин). Я уверен что вам это ясно, но не уверен что lel0lel понимает так же/имеет в виду то же.

[Утундрий]

wrest в сообщении #1657108 писал(а):

Я уверен что вам это ясно

Этот момент я упустил. Придётся пересчитывать.

[EUgeneUS]

Раз записал это (1):

EUgeneUS в сообщении #1657103 писал(а):

$$\Delta N_{\alpha} = h v \Delta t \frac{\cos (\alpha+\gamma)}{\sin \alpha}$$

продолжу своё решение.
Рассмотрим, какой импульс передаёт одна горошина скату при угле $\alpha$
Сразу записываем проекции на ось $Ox$

$p_{x, \alpha, -} = - mv \sin \gamma$ - проекция начального импульса горошины массой $m$ на ось $Ox$
$p_{x, \alpha, +} = - mv \cos (\delta - \alpha)$ - проекция импульса горошины массой $m$ на ось $Ox$ после удара, где $\delta$ - угол отражения (угол между плоскостью крыши и отлетевшей горошиной).
$\delta = \pi /2 - \alpha - \gamma$, тогда:
$p_{x, \alpha, +} = - mv \sin (2 \alpha + \gamma)$

Крыше передаётся импульс (проекция на ось $Ox$):

$$p_{x, \alpha} = - (p_{x, \alpha, +} - p_{x, \alpha, -}) = mv(\sin (2 \alpha + \gamma) - \sin \gamma)$$

Применяем формулу разницы синусов

$$p_{x, \alpha} = mv(\sin (2 \alpha + \gamma) - \sin \gamma) = 2 mv \sin \alpha \cos (\alpha + \gamma) $$

Используем (1) и записываем проекцию силы на $Ox$, действующей на один скат:

$$F_{x, \alpha} = \frac{\Delta N_{\alpha} \cdot p_{x, \alpha}}{\Delta t} = h v n \frac{\cos (\alpha+\gamma)}{\sin \alpha} \cdot 2 mv \sin \alpha \cos (\alpha + \gamma) = 2 hmn v^2 \cos^2 (\alpha + \gamma)$$

(выше в (1) при записи упустил множитель $n$ - объемная плотность горошин)

Сумма проекций на $Ox$ сил на два ската

$$F_x = 2 hmn v^2 (\cos^2 (\alpha + \gamma) - \cos^2 (\beta - \gamma))$$

ЧТД
FGJ, для сохранения размерности, ещё нужно умножить на $L$ - длину крыши по коньку

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1657112 писал(а):

где $\delta$ - угол отражения (угол между плоскостью крыши и отлетевшей горошиной).
$\delta = \pi /2 - \alpha - \gamma$, тогда:

Тут бы картинку. Как бы не вышло что $\delta = \pi /2 - 2\alpha - \gamma$

[EUgeneUS]

wrest
Я понял в чём Ваша ошибка.
При $\alpha+\beta = \pi/2$, действительно, горошины упавшие на разные стороны крыши будут разлетаться коллинеарно, но разнонаправлено. Даже при косом потоке гороха ($\gamma \ne 0$).
Но при косом потоке гороха ($\gamma \ne 0$) это совсем не означает, что горошины упавшие на разные стороны крыши передали одинаковый по модулю, но разный по знаку импульс (в проекции на $Ox$).
Поэтому требование равенства количества гороха, упавшее на обе стороны крыши - некорректно.

-- 02.10.2024, 19:52 --

wrest в сообщении #1657113 писал(а):

Тут бы картинку. Как бы не вышло что $\delta = \pi /2 - 2\alpha - \gamma$

проверьте, плз.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1657114 писал(а):

проверьте, плз.

Да, это снимаю. $2\alpha$ в косинусе, т.е. $p_{x, \alpha, +} = - mv \cos (\pi/2 - 2\alpha - \gamma)$

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1657104 писал(а):

Я-то везде пишу (и думаю) про неподвижную крышу и косой горох,

Моё решение в ИСО крыши, то есть крыша неподвижна, а горох - косой. Решение уважаемого drzewo записано в лабораторной (как принято в теормехе - в абсолютной) ИСО, то есть горох падает вертикально, а крыша у него едет.
Но одно к другому сводится переходом в нужную ИСО, как показано выше.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1657114 писал(а):

Но при косом потоке гороха ($\gamma \ne 0$) это совсем не означает, что горошины упавшие на разные стороны крыши передали одинаковый по модулю, но разный по знаку импульс (в проекции на $Ox$).

Но ведь скорость горошины по модулю сохраняется из-за упругости удара (я продолжаю рассматривать крышу как неподвижную), а поскольку отскакивают горошины от разных скатов противоположно направленно но с тем же модулем скорости, то векторная сумма импульсов двух горошин отскочивших от разных скатов - ноль, как и её (суммы) любая проекция.

А... ну да. При косом потоке у пары горошин до столкновения же был ненулевой горизонтальный импульс, а стал (у суммы в каждой паре) нулевой.
Да! Спасибо, прояснилось.

[EUgeneUS]

Утундрий в сообщении #1657107 писал(а):

Равномерность выпадения гороха из голубей здесь понимается так, что на каждый скат выпадает количество, пропорциональное длине его горизонтальной проекции.

Это для прямого гороха.
Для косого гороха: равномерность выпадения гороха из голубей здесь понимается так, что на каждый скат выпадает количество, пропорциональное длине его проекции на плоскость, перпендикулярную голубям потоку гороха.

-- 02.10.2024, 21:10 --

Любителям красивых формулировок
Вот это:

EUgeneUS в сообщении #1657046 писал(а):

Откуда:
$\alpha - \beta = 2 \gamma$

означает, что горох падает параллельно биссектрисе угла в коньке крыши.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1657124 писал(а):

означает, что горох падает параллельно биссектрисе угла в коньке крыши.

Вау! Сюрприз, однако! Ясно, что какая-то из известных чевиан должна быть... Биссектриса, значит...
Надо теперь помахать руками, под известный ответ