Albime triangles

[nnosipov]

Долго пытался перевести с английского слово albime, пока не нашел в статье Albime triangles and Guy’s favourite elliptic curve DOI следующее

Definition. A triangle is called albime concurrent (altitude-bisector-median concurrent) or simply albime, if after possibly permuting the vertices $\{A, B,C\}$, a bisector in $A$, the median in $B$ and the altitude in $C$ are concurrent.

Из статьи можно узнать, что существует бесконечно много albime triangles, имеющих соизмеримые стороны (т.е. отношение длин любых двух сторон является рациональным числом). А сколько существует albime triangles, у которых соизмеримы все углы?

Задача. Доказать, что кроме равностороннего треугольника, существует только один albime-треугольник, имеющий соизмеримые углы --- это треугольник $ABC$ с углами $\angle A=\pi/4$, $\angle B=\pi/8$, $\angle C=5\pi/8$.

Мне было бы интересно узнать, имеет ли эта задача какое-нибудь простое решение (мое собственное решение в духе тем Пентадекагональные треугольники и Уравнение Гордана).

Upd. Первоначальная формулировка задачи исправлена (она содержала ошибочное утверждение).

[waxtep]

Если $\alpha$ - угол при вершине, откуда строят биссектрису, $\beta$ - медиану, и $\gamma$ - высоту, то получается компактная штучка, если не наврал:

$$\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}=\frac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}$$

Довольно просто получить методом координат с осями вдоль высоты и стороны, на которую она опущена. А дальше видимо начинается собственно олимпиадная часть...

-- 29.09.2024, 03:42 --

И теоремы синусов, конечно. Можно преобразовать к такому виду:

$$\tg\beta=\tg\alpha\cdot\frac{1-\cos\alpha}{\cos\alpha}$$

-- 29.09.2024, 03:55 --

Или так:

$$\cos\beta=\frac{\cos^2\alpha}{\sqrt{2\cos^3\alpha-2\cos\alpha+1}}$$

[nnosipov]

waxtep
Спасибо, что написали, это подвигло меня все аккуратно пересчитать. В итоге оказалось, что есть еще один albime-треугольник с соизмеримыми углами $\alpha=\pi/4$, $\beta=\pi/8$, $\gamma=5\pi/8$. Найти его нетрудно (небольшой компьютерный перебор). Осталось доказать, что никакого другого нет.

Кстати, здесь не помешала бы предварительная компьютерная проверка в разумных пределах (вдруг я опять вру).

[waxtep]

Уффф, похоже, сложновато для меня. Вот ещё вид, в котором оба обозначенных решения с соизмеримыми углами бросаются в глаза:

$$\tg\alpha=\frac{\sin\gamma}{\cos\beta}$$

[nnosipov]

Вот картинка (еще раз спасибо hpbhpb). На ней: треугольник $ABC$ с указанными углами, $A_1$ --- основание биссектрисы угла $A$, $B_1$ --- основание медианы из вершины $B$, $C_1$ --- основание высоты из вершины $C$. Аналогично, $A_2$, $B_2$, $C_2$ --- основания внешней биссектрисы, высоты, медианы, проведенных из вершин $A$, $B$, $C$ соответственно.