Клин под дождем из гороха

[drzewo]

Вот наткнулся на задачку из детской книжки

Я думаю, что тут и уравнения движения призмы можно написать, если задаться плотностью и скоростью потока, а так же массой призмы.
Сам не решал, поэтому помещаю задачу в <<Дискуссионные темы>>. Может кого заинтересует.

[waxtep]

Получается, будет установившаяся скорость движения, и задача ее нахождения - чисто геометрическая: скорость капель дождя умножить на какую-то тригонометрию. Ну, стоящая на месте призма под косым потоком дождя. А характерное время установления скорости (коэффициент в экспоненте) уже зависит от соотношения массовых параметров и габаритов призмы. Можно будет посидеть-порисовать

[sergey zhukov]

Так вот зачем скаты крыши дома делают под равными углами к горизонту. Это чтоб крыша не поехала во время дождя.

[waxtep]

waxtep в сообщении #1656470 писал(а):

характерное время установления скорости (коэффициент в экспоненте) уже зависит от соотношения массовых параметров и габаритов призмы

И скорости горошин конечно, $\tau\sim ML/mu$, где сверху параметры призмы, а снизу - горошин

[drzewo]

sergey zhukov в сообщении #1656471 писал(а):

Так вот зачем скаты крыши дома делают под равными углами к горизонту. Это чтоб крыша не поехала во время дождя.

крыша и в сухую погоду может поехать

[lel0lel]

У меня получилось следующее выражение для проекции результирующей силы:
$$F_x(t)=F_0 \frac{v^2+u(t)^2}{2v^2}\sin{(2\alpha)}\cos(2\alpha+2\gamma(t)), \gamma(t)=\arctg \frac{u(t)}{v}\leq \frac{\pi}{2}-\alpha,$
где $F_0$ -- сила давления горошин на горизонтальную площадку, равную основанию клина; $v$ -- скорости горошин относительно Земли; $u(t)$ -- скорость клина; $\gamma(t)$ -- угол между вертикалью и скоростью горошин относительно клина. Я полагал, что высота клина мала, поэтому скорости горошин и их объёмная концентрация не изменяются по высоте. Если нигде не ошибся, то формула работает до момента, пока горох обсыпает оба склона. Установившаяся скорость $u_s=v\tg(\frac{\pi}{4}-\alpha).$
Кстати, получается, по отношению к вертикальному дождю, наиболее опасными крышами (с прямым углом при вершине), являются те, у которых один острый угол равен $\pi/8$. В этом случае начальная сила срыва равна $F_0/4$. А вот разгоняются сильнее всего те крыши, у которых $\alpha\to 0$, но справедливости ради их почти не срывает, так как начальная сила срыва стремится к нулю. Надо бы свою крышу замерить

[waxtep]

lel0lel в сообщении #1656566 писал(а):

У меня получилось следующее выражение для проекции результирующей силы:

$$F_x(t)=F_0 \frac{v^2+u(t)^2}{2v^2}\sin{(2\alpha)}\cos(2\alpha+2\gamma(t)), \gamma(t)=\arctg \frac{u(t)}{v}\leq \frac{\pi}{2}-\alpha,$$

У меня чуть другая тригонометрическая часть получилась, в Ваших обозначениях

$$F\sim \sin{2\alpha}(\cos{(\alpha+\gamma)}-\sin{(\alpha+\gamma)})$$

отличие на множитель (косинус+синус). Аналогично мог наврать, как бы свериться? Рассуждение: в СО призмы горошины и слева и справа летят влево под углом $\pi/2-\gamma$ к горизонтали; потом отлетают под углом $\pi/2-2\alpha-\gamma$, левые налево, правые направо. Слева горошин в $\ctg\alpha$ раз больше

[lel0lel]

waxtep
У меня сначала также как и у Вас получилось, я переходил в систему связанную с клином. В ней получается, что переданный грани импульс за время $\Delta t$ одной горошиной пропорционален нормальной компоненте скорости этой горошины, но ведь за время $\Delta t$ разные объёмы горошин встречают грани. Эти объёмы, встречаемых гранями горошин, также пропорциональны нормальной компоненте относительной скорости горошин. Отсюда в силах давления квадраты нормальных к граням компонент относительной скорости гороха. В квадрат возводится не только модуль относительной скорости, но и имеющаяся при нём тригонометрия. Так у меня возникла в результирующей силе разность квадратов косинуса и синуса, которую я свернул в косинус двойного угла. Но, повторюсь, что вполне мог где-то ошибиться. Если потребуется, то я распишу выкладки, но уже не сегодня.

[waxtep]

lel0lel, да, уже понял, что вот это ересь:

waxtep в сообщении #1656582 писал(а):

Слева горошин в $\ctg\alpha$ раз больше

Их на самом деле же в $\ctg\alpha \ctg{(\alpha+\gamma})$ раз больше, в расчете на нормальную к потоку площадь. Правда тогда у меня получается вообще диковинное

$$F\sim\sin{(4\alpha+2\gamma)}-\sin{2\gamma}$$

[lel0lel]

waxtep в сообщении #1656595 писал(а):

$$F\sim\sin{(4\alpha+2\gamma)}-\sin{2\gamma}$$

А чему там разность синусов равна?)
Кстати, уравнение движения даже интегрируемое получается.

[waxtep]

lel0lel в сообщении #1656597 писал(а):

А чему там разность синусов равна?)

Да, то же, что у Вас сверились, заодно, кхм, один из участников прочистил тригонометрические чакры

[zhyks1961]

drzewo в сообщении #1656444 писал(а):

Вот наткнулся на задачку из детской книжки

.

интересно что при одинаковом количестве гороха с каждой стороны крыша остается на месте.

[pppppppo_98]

zhyks1961 в сообщении #1656689 писал(а):

интересно что при одинаковом количестве гороха с каждой стороны крыша остается на месте.

а чему удивляться если каждая горошина после отскока имеет противоположные проекции в горизонтальной плоскости по разные стороны конька крыши

[EUgeneUS]

У меня получилось проще выражение.
Пусть крыша - треугольник, необязательно прямоугольный. Основание треугольника горизонтально. Высота треугольника (от верхней вершины) $H$. Горох падает в плоскости, перпендикулярной коньку крыши.
Длина крыши $L$. $n$ - объемная плотность гороха.

Тогда
$F = 2 mv^2 HLn (\cos^2(\alpha - \gamma) - \cos^2(\beta+\gamma))$

$v$ - модуль скорость гороха в СО крыши.
$\alpha, \beta$ - углы при основании крыши, $\gamma$ - угол между $v$ и вертикалью, положительный при наклоне в сторону вершины $\alpha$.

Тогда в условиях задачи
$F = 2 mv^2 HLn \cos(2\alpha)$

[drzewo]

моя версия

$$m\ddot x=2h\rho\Big(-(\dot x\sin\alpha+u\cos\alpha)^2+(\dot x\sin\beta-u\cos\beta)^2\Big),$$

$\dot x\boldsymbol e_x$ -- скорость клина в ИСО; $m$ -- масса клина