Теорема Остроградского-Гаусса

[sasha-parazit]

Теорема. Пусть векторное поле $\mathbf{a}$ является гладким в замкнутой области $Q$.
Если область $Q$ "достаточно хороша", то выполняется тождество

$$\int_Q div\mathbf{a}dQ = \int_{\partial Q} \mathbf{a}\mathbf{n}d{\partial Q}$$

,
где $\mathbf{n}$ --- внешняя нормаль в каждой точки поверхности $\partial Q$.

Доказательство в учебниках обычно проводят для $Q$, которая представима в виде конечного числа цилиндров с образующими параллельными любой координатной оси. (учебники Фихтенгольца и Кудрявцева)

Но результат справедлив для более широкого класса областей.
Вопрос можнно ли показать, что теорема справедлива для $\partial Q \in C^1$, т.е. для областей с гладкими границами?Как?

Пробовал доказать строя многогранные области $Q_k$ подобласти $Q$, обладающие свойством $Q_k \subset Q_{k+1}$ для любого $k$ и $Q_k \rightarrow Q$ при $k \rightarrow \infty$.
($Q_k \rightarrow Q$ - значит разность по мере Жордана стремится к 0)
Тогда

$$\int_{Q_k} div\mathbf{a}dQ_k \rightarrow \int_{Q} div\mathbf{a}dQ$$

, но как доказать что

$$ \int_{\partial Q_k} \mathbf{a}\mathbf{n}d{\partial Q_k} \rightarrow \int_{\partial Q} \mathbf{a}\mathbf{n}d{\partial Q}$$

?

[ewert]

Во-первых, надо писать так:

$$\iiint_Q \mathop{div}\mathbf{a}\;dQ = \iint_{\partial Q} \mathbf{a}\cdot\mathbf{n}\;d({\partial Q})$$

.

Во-вторых, достаточно доказать, что

$$\iiint_Q {\partial a_z\over\partial z}\;dQ = \iint_{Q_{xy}} \left(a_z^{\text{верх}}-a_z^{\text{ниж}}\right)\;dx\,dy$$

,

где $Q_{xy}$ -- проекция области на координатную плоскость, вычитаются же друг из друга значения третьей компоненты векторного поля на верхней и нижней поверхностях. И в этом нет ровным счётом ничего, кроме теорем Ньютона-Лейбница и Фубини. Ну а тот факт, что интеграл справа после суммирования аналогичных выражений по всем компонентам даёт именно поверхностный интеграл по векторной площади -- никакого отношения ни к Остроградскому, ни к Гауссу не имеет -- это просто стандартная координатная запись поверхностного интеграла.

Так что никаких предельных переходов вообще не нужно.

[sasha-parazit]

ewert, спасибо за отклик.

Как я понял Вы предлагаете:
1. рассмотреть векорное поле $\mathbf{a} = (0,0,a_z)$,
а общей случай сложить из этого и двух остальных(аналогичных).
2. рассматривать интеграл справа не первого, а второго рода.
Формула получится не такая

$$\iiint_Q {\partial a_z\over\partial z}\;dQ = \iint_{Q_{xy}} \left(a_z^{\text{верх}}-a_z^{\text{ниж}}\right)\;dx\,dy,$$

так как прямая параллельная оси z может пересекать поверхность $\partial Q$ более 2-х раз.
А может даже бесконечное число раз.
Как здесь поступить?

[zoo]

sasha-parazit писал(а):

Теорема. Пусть векторное поле $\mathbf{a}$ является гладким в замкнутой области $Q$.
Если область $Q$ "достаточно хороша", то выполняется тождество

$$\int_Q div\mathbf{a}dQ = \int_{\partial Q} \mathbf{a}\mathbf{n}d{\partial Q}$$

,
где $\mathbf{n}$ --- внешняя нормаль в каждой точки поверхности $\partial Q$.

Доказательство в учебниках обычно проводят для $Q$, которая представима в виде конечного числа цилиндров с образующими параллельными любой координатной оси. (учебники Фихтенгольца и Кудрявцева)

Но результат справедлив для более широкого класса областей.

Общую теорему Стокса с обсуждением различных условий на границу области см. Л.Шварц Анализ том 2. Из текста Шварца видно, что формула Стокса совсем не сводится к теореме Фубини и формуле Ньютона-Лейбница, как думает одн из местных ораторов.

[ewert]

Никак не быть. Гордо проигнорировать. Кому нужны эти заморочки?

В конце концов, даже аккуратно определить, что называется замкнутой поверхностью $C^1$ -- формально не так просто. И, главное, никому практически не нужно.

Если же вопрос интересует Вас по существу -- просто разбейте область на несколько более простых (формула Остроградского-Гаусса инвариантна относительно подразбиений).

Добавлено спустя 2 минуты 57 секунд:

zoo в сообщении #165649 писал(а):

Из текста Шварца видно, что формула Стокса совсем не сводится к теореме Фубини и формуле Ньютона-Лейбница,

Приведите фрагмент текста Шварца, в которой чётко сказано, что общая теорема Стокса является частным случаем теоремы Остроградского-Гаусса.

[zoo]

ewert в сообщении #165650 писал(а):

Приведите фрагмент текста Шварца, в которой чётко сказано, что общая теорема Стокса является частным случаем теоремы Остроградского-Гаусса.

я такую глупость не говорил, так, что ищите ее сами. Если Вы не понимаете, что теорема Остроградского Гаусса (при общих предположениях относительно области) кроме теоремы Фубини и формулы Ньютона-Лейбница, использует разложение единицы (или эквивалентные соображения)-- то ссылку я уже дал -- образовывайтесь.

ewert в сообщении #165650 писал(а):

В конце концов, даже аккуратно определить, что называется замкнутой поверхностью $C^1$ -- формально не так просто.

Опять врете: это очень даже просто, замкнутая поверхность это (двумерное) компактное многообразие без края. Что такое $C^1$ многообразие -- читайте в учебниках.

ewert в сообщении #165650 писал(а):

И, главное, никому практически не нужно.

Даже в очень прикладной книжке Дубровина Новикова Фоменко рассматривается это определение, не надо выдавать свою весьма нетрадиционную ориентацию за стандарт.

[ewert]

прочитайте самый первый пост и подумайте, на что Вы отвечаете и отвечаете ли вообще

[Azog]

Вообще теорема гаусса-остроградского как частный случай теоремы стокса - преподается в мат.анализе глупо =)
По причине того что возникает там неестественно. Вообще не очень понимаю какой смысл в ней там. Через когомологии гораздо красившее и естественнее.

[zoo]

Azog писал(а):

Вообще теорема гаусса-остроградского как частный случай теоремы стокса - преподается в мат.анализе глупо =)
По причине того что возникает там неестественно. Вообще не очень понимаю какой смысл в ней там. Через когомологии гораздо красившее и естественнее.

и что неестественного Вы там находите?

[id]

Azog
А где именно ( курс/книга ) можно посмотреть на то, как будет красившее/естественнее?

[Azog]

доказательство, что еще.

[zoo]

Azog писал(а):

доказательство, что еще.

вообще странные Вы вещи рассказываете. Хотите доказывать формулу Гаусса-Остроградского с помощью когомологий и утверждаете, что это лучше чем как следствие из общей формулы Стокса. Я так думаю, что Ваше доказательство будет основано на той же формуле Стокса только в когомологических терминах.

[Azog]

Я это и говорил. Выведени формулы ГО из Стокса - тривиально, но сама формула Стокса в терминах мат. анализа- штука глубоко противоестественная.

[ewert]

нет, это вполне естественное обобщение элементарной формулы Ньютона-Лейбница. Обобщение настолько, насколько это вообще возможно.

[zoo]

Azog писал(а):

Я это и говорил. Выведени формулы ГО из Стокса - тривиально, но сама формула Стокса в терминах мат. анализа- штука глубоко противоестественная.

Ну Вы ведь понимаете, что присутствующие очень легко могут закидать Вас учебниками по мат.анализу и по диф. геометрии написанными вполне грамотными людьми, которые, тем не менее, не видят ничего ненормального в том что б формулировать теорему стокса именно в терминах, как Вы говорите, матанализа.