n-симплекс на плоскости

[Nartu]

Ищу красивый способ представить n-симплекс какой-то плоской моделью, но как-то геометрически, что б рисовать. Конечно, можно рисовать n отрезков нужных длин и двигать точки по ним, но это не то...
Симплекс задан стандартно, вот так:

$a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n=\operatorname{const},\;a_i>0,\;x_i>0$

Предложение 1
Известно, что сумма перпендикуляров от внутренней точки остроугольного треугольника величина постоянная, при чём это работает для довольно широкого класса треугольников.
Если пойти этим путём?

Вот, для прямоугольников выполняется, но проблема в "покрытии" - суммы двух пар перпендикуляров равны, а значит, не все точки 3-симплекса можно получить...

Експерименты в GeoGebra показали, что в правильном(да и в принципе выпуклом?) 5-угольнике не из каждой внутренней точки можно опустить перпендикуляры ко всем рёбрам.
Но! Точно могу сказать, что в правильном 5-угольнике точки, из которых можно опустить перпендикуляры обладают нужным свойством! Сумма равна некоторой константе... При чём, эти точки формируют область в виде 10-угольника. По крайней мере точность до 6 знаков после запятой.. но я думаю, что результат точный.

Для правильного 6-угольника такое не выполняется вообще! Может, только для подмножеств из 6-и или точнее 12-и точек, расположеных симметрично, чего можно ожидать.

Так что такой подход неуниверсальный.. не пойдёт. Как же быть? — Можно модифицировать многоугольники, сделав их рёбра кривыми.
Но опять — надо возможность перпендикуляра на каждое ребро из каждой внутренней точки. Тем более вопрос "покрытия" тоже открыт. Получу ли я все возможные кортежи?

Предложение 2

Кривые рёбра наталкивают на мысль о другой геометрии. И правда, тогда есть какой-то шанс.. как минимум строить перпендикуляры от каждой внутренней точки. В голове рисунок модели плоскости отрицательной кривизны в круге. Там есть больше замощений правильными полигонами, может поможет?

Последнее

Пользоваться расстояниями к вершинам, просто наложить веса. Наверное, каждой точке будут свои веса. Будет задано специальное поле, может векторное.
Кажется, что такой подход по-проще и может быть реализован. Наверное, во всех выпуклых многоугольниках отрезки, соединяющие внутреннюю точку с вершинами лежат внутри фигуры, что уже хорошо.

Поиск нужного поля можно делать и програмно.. хоть и не супер просто. Кажется, я могу использовать солверы для constraint satisfaction problems .

А можно попробовать пойти через теорию. Рассмотреть поле с кортежами расстояний к вершинам полигона и попробовать найти ему партнёра, что бы их скалярное произведение было (поточечно?) везде равно константе.

Можно даже проще. Берём сумму расстояний в точке и просто берём обратное число, и поле может быть скалярным. Даже можно умножить на константу. Тогда просто для каждой точки умножаем сумму расстояний на это число и готово!
Вопрос только в "покрытии" — все ли решения уравнения симплекса я получу? Собственно вот это и будет основным вопросом. Как проверить?

[Утундрий]

Nartu в сообщении #1656103 писал(а):

Ищу красивый способ представить n-симплекс какой-то плоской моделью, но как-то геометрически, что б рисовать. Конечно, можно рисовать n отрезков нужных длин и двигать точки по ним, но это не то...
Симплекс задан стандартно, вот так:
$a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n=\operatorname{const},\;a_i>0,\;x_i>0$

Покрасьте левые буквочки красненьким, а правые буквочки — зелёненьким. А индексочки сделаете фиолетовенькими. Получится красивенько.

[dgwuqtj]

Nartu
Вы хотите какую-то биекцию между симплексом и множеством геометрических объектов на плоскости? Просто точки внутри пятиугольника не будут взаимно-однозначно соответствовать точкам 4-симплекса.

[Slav-27]

Nartu в сообщении #1656103 писал(а):

Конечно, можно рисовать n отрезков нужных длин и двигать точки по ним, но это не то...

Бывает полезно думать про стандартный симплекс как про упорядоченное множество точек на $[0;1]$ с суммой $1$. Но, наверно, это тоже не то.

[Nartu]

dgwuqtj в сообщении #1656109 писал(а):

Nartu
Вы хотите какую-то биекцию между симплексом и множеством геометрических объектов на плоскости? Просто точки внутри пятиугольника не будут взаимно-однозначно соответствовать точкам 4-симплекса.

Да, что-то такое. В идеале что-то на подобии розы ветров. Оно как-бы да, с 5-угольником, но я беру расстояния от внутренней точки к вершинам. Они формируют 5-мерный кортеж. Уже что-то.

Slav-27 в сообщении #1656111 писал(а):

Бывает полезно думать про стандартный симплекс как про упорядоченное множество точек на $[0;1]$ с суммой $1$. Но, наверно, это тоже не то.

Да, слишком "плоское", низкоразмерное. Тем не менее это отрезок, 1-мерный, но мы можем представить многомерный сиплекс на нём! А значит, и среди чего-то двумерного найдётся.


Моё предложение "нормализовать" кортежи расстояний к вершинам (выпуклого) многоугольника кажется очень даже неплохим. Надо подобрать такое векторное поле в каждой точке, что скалярное произведение этого поля с каждым кортежем расстояний от точки до вершин было постоянно.
Моя первоначальная идея — получить все координаты всех точек сиплекса. Это значит, что если точка совпадёт с вершиной, то должна остаться только одна ненулевая координата, равная нужной константе.

Даже не знаю, как подойти.. Скалярное произведение не позволяет решать уравнения, решений может быть много. Может быть, геометрическое произведение бы помогло? Но тогда тоже надо подумать, как его использовать.

Сейчас мне мерещится, что вот эта идея выше , она недостаточна. Как-бы, надо ещё и так подобрать, что бы расстояния к вершинам правильно растянулись/сжались. Только я сильно сомневаюсь, что это правильно.

Как бы не оказалось, что "против размерности не попрёшь" и окажется что вышла всего лишь тень симплекса.

[dgwuqtj]

Nartu в сообщении #1656119 писал(а):

Да, что-то такое. В идеале что-то на подобии розы ветров.

А вы знаете, что такое взаимно-однозначное соответствие?

[Geen]

Nartu в сообщении #1656103 писал(а):

Как проверить?

Начать (и закончить) тетраэдром....

[makxsiq]

... а можно собрать икосаэдр из 12 магнитных шариков.

[Nartu]

dgwuqtj в сообщении #1656133 писал(а):

Nartu в сообщении #1656119 писал(а):

Да, что-то такое. В идеале что-то на подобии розы ветров.

А вы знаете, что такое взаимно-однозначное соответствие?

Да. Вопрос в том, какой размерности область точек с координатами, равными расстояниям к вершинам многоугольника. Надо порисовать какие-то простые случаи.
Интуиция говорит, что область кривая, и искомое отображение будет нелинейно.

Это подтвердилось, похоже на кусок параболоида вращения, а значит искомое отображение не такое уж и сложное. Но видно неприятность - для треугольника область, хоть и кривая, но плоская.
Могу дать изображения рисунка в GeoGebra.

Хмм.. можно ли это увидеть без рисунка? В принципе, такие координаты точек полигона задают точку внутри него. Так что даже если расположить точки с этими координатами в n-мерном пространстве, то всё равно всё будет плоским.
Как досадно. Расстояния к точкам зависимы. А мне нужно наоборот. Прийдётсся добавлять ещё какие-то переменные. На пример, возможность двигать вершины. Только это даст от силы 1 измерение.

Если я хочу хорошое/понятное визуальное представление симплекса, то прийдётся представлять его покординатно, так же как и набор "слайдеров" на отрезках $\left[0, 1\right]$. Вспомнил про упомянутую розу ветров — так это же то же самое, что и эти слайдеры, просто их расположили по кругу! Может, это лучший компромис.

Заполняющие пространство кривые - хоть и решение, но сложное, плюс оно может отобразить близкие точки куда-то далеко. Я знаю, что кривая Гильберта обладает свойством отображать довольно много близких точек не слишком далеко друг от друга, что можно использовать для сжатия цифровых изображений.
Если мне только для визуализации, то почему бы и нет? Кто-то знает где найти статьи об обобщениях такой кривой на большие мерности, и сохраниться ли там то самое свойство?

Иначе только другой метод поможет. 2-мерная, но другая геометрия тоже не поможет. Не должна...
Как на счёт чего-то комбинаторного? Вроде тема та же, но направление изменилось, значит нужно начинать новое обсуждение. С "голыми руками" я не буду начинать, а попробую поискать самостоятельно хоть что-то. Приму ваши идеи.