Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz

[mathpath]

dmd в сообщении #1655690 писал(а):

$(x,y,z)$=(-707898957401771913757226, 6377985188886147, 8730045949720501300467109875755)

Это сильно меньше уже известных решений

[maxal]

dmd в сообщении #1655690 писал(а):

$(x,y,z)$=(-707898957401771913757226, 6377985188886147, 8730045949720501300467109875755)

Поздравляю! Как именно нашли его?

[dmd]

Нашел таким поиском:

(код pari/gp)

 my(V,P,p1,c,r,m,x,y,z,x0,y0,x1,y1,x2,y2,x3,y3,z3);
 V= [];
 forprime(p=3,100000,
  P=polrootsmod(1+'x^2+'x^3, p)~;
  for(i=1,#P,
   V= concat(V,P[i]);
   parfor(j=1,#V,
    p1= V[j].mod;
    if(p1<p,
     c= chinese(P[i],V[j]);
     c= chinese(Mod(4,9),c);
     r= lift(c); m= c.mod;
     for(k=0, 16, forstep(ksign=-1,1,2,
      x= r+k*ksign*m;
      y= 9*p1*p;
      z= -(1+x^2+x^3+y^2)/(x*y);
      if(z==floor(z),

       print("("x","y","z")    ",factorint(y),"    ",k"\n");
       x0= x; y0= y;
       x1= (y0^2+1)/x0; y1= y0;
       x2= x1; y2= (x1^3+x1+1)/y1;
       x3= (y2^2+1)/x2; y3= y2;
       z3= -(1+x3^2+x3^3+y3^2)/(x3*y3);
       if(z3==floor(z3), if(z3%9==0,
        print("(*)    ("x3","y3","z3/9")\n");
       ));

       y= (1+x^2+x^3)/y;
       print("("x","y","z")    ",factorint(y),"\n");
       x0= x; y0= y;
       x1= (y0^2+1)/x0; y1= y0;
       x2= x1; y2= (x1^3+x1+1)/y1;
       x3= (y2^2+1)/x2; y3= y2;
       z3= -(1+x3^2+x3^3+y3^2)/(x3*y3);
       if(z3==floor(z3), if(z3%9==0,
        print("(*)    ("x3","y3","z3/9")\n");
       ))

      )
     ))
    )
   )
  )
 )

Было бы здорово, если кто-то сможет объяснить магию этого метода.
Происходит примерно следующее. Начать нужно с более простого уравнения $1 + x^2 + x^3 + y^2 + xyz = 0$, для которого сравнительно легко находить малые целые решения $(x_0,y_0,z_0)$, которые будут стартовыми в итерациях алгоритма. Легко видеть, что в дивизорах $1 + x^2 + x^3$ два целых значения $y$, которые участвуют в решениях. А в дивизорах $1 + y^2$ лишь одно целое значение $x$, два других комплексные/иррациональные сопряженные, т.к. по $x$ уравнение кубическое. Волшебство случается, когда метод прыгает на "соседнюю" поверхность $1 + x + x^3 + y^2 + xyz = 0$, делаются три шага $(x_0,y_0)\to (x_1,y_1)\to (x_2,y_2)\to (x_3,y_3)$. В результате третья целая точка $(x_3,y_3,z_3)$ почему-то оказывается на исходной поверхности. Если при этом $9|z_3$, то решение найдено.

[AlexSam]

Можно записать еще так:
$-9\,x\,y\,z+{y}^{2}+{x}^{3}+{x}^{2}+1=\left( 9\,{y}_{1}\,x\,z-{x}^{3}-{x}^{2}-{y}_{1}^{2}-1\right) \,\left( 9\,{y}_{1}\,{y}_{2}^{2}\,x\,z-9\,{y}_{2}\,x\,z-{y}_{2}^{2}\,{x}^{3}-{y}_{2}^{2}\,{x}^{2}-{y}_{1}^{2}\,{y}_{2}^{2}-{y}_{2}^{2}+2\,{y}_{1}\,{y}_{2}-1\right) $
когда $y={y}_{1}\,\left( 9\,{y}_{2}\,x\,z-{y}_{1}\,{y}_{2}+1\right) -{y}_{2}\,\left( {x}^{3}+{x}^{2}+1\right) $