2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 разностная схема
Сообщение21.09.2024, 16:19 


21/09/24
3
$\text{Для уравнения переноса }u_{t}+u_{x}=0\text{ методом сноса по характеристике с интерполяцией решения}$$\text{ на предыдущем слое написать разностную схему на симметричном четырехточечном шаблоне,}$$\text{ используя для этого одну точку на верхнем слое и три на нижнем. методом гармоник выяснить}$$\text{ условие устойчивости схемы, найти порядок аппроксимации.}$

Сначала строим интерполянт:

$\widetilde{x_{i}}=x_{i}-c\tau$
$\widetilde{\widetilde{x_{i}}}=x_{i}+c\tau$
$\check{y}=P_{2}(\widetilde{\widetilde{x_{i}}})=P_{2}(x_{i}+c\tau)$

$x: x_{i-1}, \widetilde{x_{i}}=x_{i}-c\tau, x_{i+1}$
$y: \check{y}_{-1},y,\check{y}_{+1}$
$\Delta_{1}: \frac{y-\check{y}_{-1}}{h-c\tau}, \frac{\check{y}_{+1}-y}{h+c\tau}$
$\Delta_{2}: \frac{1}{2h}(\frac{\check{y}_{+1}-y}{h+c\tau}-\frac{y-\check{y}_{-1}}{h-c\tau})$

$P_{2}(x)=\check{y}_{-1}+\frac{y-\check{y}_{-1}}{h-c\tau}(x-x_{i-1})+\frac{1}{2h}(\frac{\check{y}_{+1}-y}{h+c\tau}-\frac{y-\check{y}_{-1}}{h-c\tau})(x-x_{i-1})(x-x_{i-1}+c\tau)$
$\check{y}=P_{2}(x_{i})=\check{y}_{-1}+\frac{y-\check{y}_{-1}}{h-c\tau}(-h)+\frac{1}{2h}(\frac{\check{y}_{+1}-y}{h+c\tau}-\frac{y-\check{y}_{-1}}{h-c\tau})(-h)c\tau$

$y:-\frac{h}{h-c\tau}+\frac{c\tau}{2}(\frac{1}{h+c\tau}+\frac{1}{h-c\tau})=-\frac{h}{h-c\tau}+hc\tau=h(c\tau-\frac{1}{h-c\tau})$
$\check{y}:-1$
$\check{y}_{+1}:-\frac{c\tau}{2}\frac{1}{h+c\tau}$
$\check{y}_{-1}:1+\frac{h}{h-c\tau}-\frac{c\tau}{2}\frac{1}{h-c\tau}=1+\frac{1}{h-c\tau}(h-\frac{c\tau}{2})$

$-\check{y}+h(c\tau-\frac{1}{h-c\tau})y-\frac{c\tau}{2}\frac{1}{h+c\tau}\check{y}_{+1}+(1+\frac{1}{h-c\tau}(h-\frac{c\tau}{2}))\check{y}_{-1}=0$

Правильно ли я дошел до текущего шага?

 Профиль  
                  
 
 Re: разностная схема
Сообщение21.09.2024, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5494
Нов-ск
1. Это трехточечный шаблон (равен размаху по пространству, а не общим количеством задействованных значний)
2. Сначала строится интерполянт по трём узлам: $x_{i-1}, x_i, x_{i+1}$
3. Затем значение в точке, которая определяется шагами сетки по пространству и времени, а также наклону характеристики, равному в данном случае $1$, принимается за искомое значение на "новом" слое по времени

 Профиль  
                  
 
 Re: разностная схема
Сообщение21.09.2024, 19:49 


21/09/24
3
Рисунок с пояснениями для моего решения: https://i.postimg.cc/fL2PBVzn/image.png

 Профиль  
                  
 
 Re: разностная схема
Сообщение21.09.2024, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5494
Нов-ск
На нижнем слое известны значения функции только в ЦЕЛЫХ узлах. Вот по эти значениям и стройте интерполянт.
Для тренировки сначала постройте схему двухточечную (на нижнем слое).

 Профиль  
                  
 
 Re: разностная схема
Сообщение22.09.2024, 12:38 


21/09/24
3
https://i.postimg.cc/MKQL8b3Z/2.png

$x_{i}+h:y_{+1}$
$x_{i}:y$
$x_{i}-h:y_{-1}$
$x_{i}-c\tau:\hat{y}$

$L=y_{i+1}\frac{(x-x_{i})(x-(x_{i}-h))}{h 2h}+y\frac{(x-(x_{i}+h))(x-(x_{i}-h))}{-h h}+y_{-1}\frac{(x-x_{i})(x-(x_{i}+h))}{(-h)(-2h)}$

$\hat{y}=L(x_{i}-c\tau)=y_{+1}\frac{(-c\tau)(-c\tau+h)}{h 2h}+y\frac{(c\tau-h)(h-c\tau)}{h h}+y_{-1}\frac{(-c\tau)(-c\tau-h)}{(-h)(-2h)}$

$\hat{y}=y_{+1}\frac{c\tau(c\tau-h)}{2h^{2}}+y\frac{h^{2}-c^{2}\tau^{2}}{h^{2}}+y_{-1}\frac{c\tau(c\tau+h)}{2h^{2}}$

Правильно ли я дошел до текущего момента?

 Профиль  
                  
 
 Re: разностная схема
Сообщение22.09.2024, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5494
Нов-ск
_Mark_ в сообщении #1655556 писал(а):
Правильно ли я дошел до текущего момента?

Формально правильно шли, но лучше так не ходить.
Запишите интерполяционный полином не в форме Лагранжа (как сейчас), а в форме Ньютона. Причём используйте следующий порядок узлов: $x_i, x_{i-1}, x_{i+1}$. Запись в форме Ньютона будет удобнее для ответа на вопросы про порядок аппроксимации и устойчивость.

Кстати, в первом сообщении Вы использовали как раз форму Ньютона (только по каким попало узлам):
$P_{2}(x)=\check{y}_{-1}+\frac{y-\check{y}_{-1}}{h-c\tau}(x-x_{i-1})+\frac{1}{2h}(\frac{\check{y}_{+1}-y}{h+c\tau}-\frac{y-\check{y}_{-1}}{h-c\tau})(x-x_{i-1})(x-x_{i-1}+c\tau)$

И не таскали бы коэффициент $c$, в уравнении этот коэффициент равен единице.
$x_{i}-c\tau:\hat{y}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group