Обратный скин-эффект в слабо проводящих средах

[reterty]

Нуждаюсь в обсуждении и помощи в физической интерпретации эффектов, которыми я сейчас занимаюсь.
В общем случае произвольной проводимости $\sigma$, волновое уравнение для электрического поля $\mathbf{E}$ в системе СИ имеет следующий вид:

$$\Delta\mathbf{E}-\mu \mu_0 \sigma \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}-\dfrac{\mu \epsilon}{c^2}\dfrac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} =0. (1)$$

Последний член в уравнении (1) отвечает за ток смещения. Второе слагаемое в этом уравнении отвественно за возникновение классического скин-эффекта. Пользуясь законом Ома $ \mathbf{j}=\sigma \mathbf{E}$ и решая уравнение (1) для цилиндрического проводника радиусом $a$, можно получить распределение плотности тока в поперечном сечении проводника в виде:

$$\mathbf{j}=j_0 \dfrac{J_0\left( \sqrt{2(i+\gamma)}\rho/\delta_0\right)}{J_0\left( \sqrt{2(i+\gamma)}a/\delta_0\right)}\exp(-i \omega t)\hat{\mathbf e}_z, (2)$$

где $j_0$ - плотность тока вдоль поверхности цилиндра; $J_0(x)$ - функция Бесселя первого рода нулевого порядка; $\gamma=\epsilon_0 \epsilon \omega/\sigma$ - отношение плотности тока смещения ($j_D$) к току проводимости ($j$); $\delta_0=\sqrt{2/(\mu \mu_0 \sigma \omega)}$ - толщина скин-слоя при $\gamma \to 0$; $\rho$ - радиальная координата.
На рисунках ниже приведено распределение плотности тока по радиальной координате $\rho$ при различных отношениях $a/\delta_0$ и значениях $\gamma$. Видно, что при существенной величине $\gamma$ это распределение приобретает "не классический" вид. В частности, (третий рисунок) возможно возникновение инверсного скин-эффекта, природа которого мне до конца не ясна и которую я хотел бы обсудить с форумчанами.

[realeugene]

А в решении не должно вдруг получиться суммы двух волн: сходящейся к центру и расходящейся?

[reterty]

realeugene в сообщении #1654696 писал(а):

А в решении не должно вдруг получиться суммы двух волн: сходящейся к центру и расходящейся?

Да, действительно, общее решение уравнения Бесселя представляет собою линейную комбинацию функций Бесселя первого и второго порядка, причем, Бессель второго порядка описывает волну, сходящуюся к центру. Однако, эта функция расходится в нуле и должна быть отброшена исходя из физических соображений. Другое дело-проводящая пластинка. Там решение действительно представимо в виде линейной комбинации двух экспонент и условие симметричности решения относительно середины пластинки дает гиперболический косинус. Однако, повторюсь, за столь парадоксальное поведение плотности тока (второй и третий рисунки) ответственно третье слагаемое в уравнении (1). Однако, почему "оно так работает" понять не могу.

[realeugene]

Нет ли там второго Бесселя с сопряженным волновым числом?

[reterty]

realeugene в сообщении #1654701 писал(а):

Нет ли там второго Бесселя с сопряженным волновым числом?

Нет. Посмотрите решение для проволоки хотя бы здесь: https://en.wikipedia.org/wiki/Skin_effect где описана теория классического ($\gamma=0$) скин-эффекта. Кстати, полностью идентичные аномалии для распределения плотности тока описаны давным-давно для случая плоской пластинки of poor conductor: https://ieeexplore.ieee.org/document/4066170

[realeugene]

Резонанс концентрирует в центре электрическую энергию, за счёт этого там больше омические потери? Мне кажется, было бы интересно посмотреть на графики полного потока активной и реактивной энергии в зависимости от радиуса, и плотности по радиусу электрической, магнитной энергии и омических потерь. И, да, прямо с комплексными величинами было бы проще, без экспоненты от времени. Я тут упоминал в соседней теме Harrington, "Time-Harmonic Electromagnetic Fields", см. определение комплексного вектора Пойнтинга (1-51) и закон сохранения комплексной энергии (1-68).

[reterty]

realeugene в сообщении #1654759 писал(а):

Резонанс концентрирует в центре электрическую энергию, за счёт этого там больше омические потери? Мне кажется, было бы интересно посмотреть на графики полного потока активной и реактивной энергии в зависимости от радиуса, и плотности по радиусу электрической, магнитной энергии и омических потерь. И, да, прямо с комплексными величинами было бы проще, без экспоненты от времени. Я тут упоминал в соседней теме Harrington, "Time-Harmonic Electromagnetic Fields", см. определение комплексного вектора Пойнтинга (1-51) и закон сохранения комплексной энергии (1-68).

Получается любопытный результат: если в хороших проводниках импеданс и его составляющие на больших частотах растут с увеличением частоты, то в слабо проводящих средах, выше некоторого порогового значения $\gamma$ и радиуса проводника, на больших частотах импеданс падает с увеличением частоты, асимптотически приближаясь к нулю! Пример: питьевая (подсоленная) вода. Вот уж не знаю: где сей эффект может найти практическое применение?

[realeugene]

Импеданс этой моды - это отношение напряженностей электрического и магнитного поля на поверхности проводника.

[pppppppo_98]

reterty в сообщении #1654652 писал(а):

$\gamma=\epsilon_0 \epsilon \omega/\sigma$

есть у мине сомнеие в правильности ыот это формулы... она размерная

[reterty]

pppppppo_98 в сообщении #1654798 писал(а):

reterty в сообщении #1654652 писал(а):

$\gamma=\epsilon_0 \epsilon \omega/\sigma$

есть у мине сомнеие в правильности ыот это формулы... она размерная

С утра была безразмерная- и вот те на что с нею к ночи приключилось))...

[DimaM]

reterty в сообщении #1654790 писал(а):

Получается любопытный результат: если в хороших проводниках импеданс и его составляющие на больших частотах растут с увеличением частоты, то в слабо проводящих средах, выше некоторого порогового значения $\gamma$ и радиуса проводника, на больших частотах импеданс падает с увеличением частоты, асимптотически приближаясь к нулю!

При больших частотах (больше плазменной частоты) второе слагаемое в (1) становится пренебрежимо маленьким, и остается чистое волновое уравнение (учитывая еще, что в этом случае электропроводность убывает по закону $\sigma\sim 1/\omega$).
Правда, сдается мне, что говорить при этом о токе по проводу некорректно.

[Theoristos]

А у Википедии решение несколько иное

[realeugene]

Theoristos в сообщении #1654846 писал(а):

А у Википедии решение несколько иное

В металлах третий член, на самом деле, игнорируют.

Понятно, что там будет нулевой и ограниченный в нуле Бессель, но придётся идти к нулю в нём по немного иному пути.

[reterty]

DimaM в сообщении #1654833 писал(а):

reterty в сообщении #1654790 писал(а):

Получается любопытный результат: если в хороших проводниках импеданс и его составляющие на больших частотах растут с увеличением частоты, то в слабо проводящих средах, выше некоторого порогового значения $\gamma$ и радиуса проводника, на больших частотах импеданс падает с увеличением частоты, асимптотически приближаясь к нулю!

При больших частотах (больше плазменной частоты) второе слагаемое в (1) становится пренебрежимо маленьким, и остается чистое волновое уравнение (учитывая еще, что в этом случае электропроводность убывает по закону $\sigma\sim 1/\omega$).
Правда, сдается мне, что говорить при этом о токе по проводу некорректно.

Существенное уменьшение импеданса и его составляющих происходит уже на частотах гораздо меньше плазменной (см. рисунок внизу и топик topic158247.html). И уже в этом диапазоне уравнение (1) можно считать чисто волновым (без второго слагаемого).


-- Вт сен 17, 2024 07:19:19 --

Сдается мне, я начинаю понимать у кого откуда ноги растут. Случай решения чисто волнового уравнения в цилиндрической области пространства детально рассмотрен у Фейнмана https://ftfsite.ru/wp-content/files/fiz ... am_2.1.pdf на стр. 201-207. Просто сравните третий рисунок моего стартового поста с рисунком 23.5 на стр. 204 у Фейнмана. ТЕПЕРЬ ГЛАВНОЕ: понять почему второе слагаемое в уравнении (1) пытается свести на нет поле в средней части сечения проводника (обычный скин-эффект), тогда как третье слагаемое пытается уменьшить электрическое поле именно на периферии. Вот уж, ПОИСТИНЕ ОЛИМПИАДНАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА!

[pppppppo_98]

reterty в сообщении #1655045 писал(а):

Вот уж, ПОИСТИНЕ ОЛИМПИАДНАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА!

Чиво... Вы прежде чем глубоко идущме выводы делать возьмите да подставьте значения реальных параметров... Даже для плохо проводящего титана, частота примерно 10^17 для ваших выводов, что соответствует границе мягкого рентгена, при которой будут отрываться электроны внешних оболочек из-за фотоэффекта. Есть сомнение что даже в полупроводниках и ионизированных жидкостях (растворах) будет выполняться закон ома