Плотность распределения случайных величин

[Dranzer]

"Найти плотность распределения суммы независимых случайных величин $\xi$ и $\eta$, если $\xi$ равномерно распределена в $[0,1]$, а $\eta$ имеет показательное распределение с плотностью $e^{-x} (x>0)$."

[Brukvalub]

См. http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node39.html#2933

[Dranzer]

Проверьте, пожалуйста, моё решение:
$p_\xi(x) =1$
$p_\eta(y) =e^{-y}$
$F_{\xi+\eta}(z)=\int\int p_\xi(x) \cdot p_\eta(y) dxdy=\int_{0}^{z}dx\int_{0}^{z-x}e^{-y}dy=\int_{0}^{z}(1-e^{x-z})dx=z-1+e^{-z}$
$p_{\xi+\eta}(x)=1-e^{-x}$

[ewert]

Это не может быть верным хотя бы потому, что интеграл от плотности бесконечен.

(Неправильно поставлен один из пределов интегрирования. Кроме того, там надо рассматривать три случая.)

[Dranzer]

В ответе: $1-e^{-x}$, если 0<x<1, и $e^{1-x}-e^{-x}$, если x>1.

[ewert]

Да.

[Dranzer]

подскажите, как правильно решить, пожалуйста

[ewert]

Случай от 0 до 1 Вы разобрали, теперь так же честно подсчитайте, что будет после единицы (там изменится внешний предел интегрирования).

[Dranzer]

Правильный ответ получается, если подставить внешний предел от 0 до 1. Только я не могу понять, почему такой предел нужно брать для случая х>1

[--mS--]

Видимо, потому, что плотность $\xi$ не равна единице тождественно. А равна она ей только тогда, когда аргумент заключён между 0 и 1: $p_\xi(x)=1$ при $x\in[0,\,1]$. Иначе $p_\xi(x)=0$.

[ewert]

Dranzer писал(а):

Правильный ответ получается, если подставить внешний предел от 0 до 1. Только я не могу понять, почему такой предел нужно брать для случая х>1

Потому, что фактически Вы интегрируете только по той части плоскости, в которое произведение плотностей не равно нулю. Что это за область?

[Dranzer]

Кажется, я понял! Большое спасибо