ОДУ в полных дифференциалах

[Pypuk]

Я в замешательстве, что нужно сделать с этим дифуром ?

$ \frac{2x+ye^x^y}{1+xe^x^y}=-y` $

[V.V.]

Перепишите уравнение в виде
$(2x+ye^{xy})dx+(1+xe^{xy})dy=0$.

[Pypuk]

Получилось вот так. Правильно ли решение ?
$ 2xdx+ye^x^ydx+dy+xe^x^ydy=0 $
$d(x^2)+dy+e^x^y(ydx+xdy)=0 $
$d(x^2+y)+e^x^yd(xy)=0 $
$d(x^2+y+e^x^y)=0 $
$x^2+y+e^x^y$=С

[Brukvalub]

Хорошее решение!

[ewert]

Хорошее, но бессознательное. А имелась в виду составителями стандартная схема для уравнения в полных диферениалах:

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,$
$P(x,y)\equiv(2x+ye^{xy}), \qquad Q(x,y)\equiv(1+xe^{xy});$
${\partial P\over\partial y}={\partial Q\over\partial x}=(1+xy)e^{xy} \quad\Rightarrow\quad \exists U(x,y):\ {\partial U\over\partial x}=P,\ {\partial U\over\partial y}=Q$
(это мы убедились в том, что уравнение -- и впрямь в полных диферениалах);

$U'_x=P=2x+ye^{xy}; \qquad U=\int(2x+ye^{xy})\,dx=x^2+e^{xy}+A(y);$
$U'_y=Q; \qquad 0+xe^{xy}+A'(y)=1+xe^{xy};$
$A'(y)=1; \quad A(y)=\int1\,dy=y+C; \qquad U(x,y)=x^2+e^{xy}+y+C;$

$(2x+ye^{xy})dx+(1+xe^{xy})dy=0 \quad\Leftrightarrow\quad U'_xdx+U'_xdy=0 \quad\Leftrightarrow\quad dU(x,y)=0 \quad\Leftrightarrow\quad U(x,y)={\rm const);$

$x^2+e^{xy}+y={\rm const}$ -- общее решение.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #166063 писал(а):

Хорошее, но бессознательное.

ewert=Sigmund Freud???

[zoo]

ewert в сообщении #166063 писал(а):

$x^2+e^{xy}+y={\rm const}$ -- общее решение.

Вы опять путаетесь в понятиях это не общее решение ,а первый интеграл уравнения, вот если Вы выразите отсюда $y(x,C)$ то получится общее решение

[Pypuk]

т.е получившийся ответ нужно проинтегрировать ?

[Brukvalub]

Pypuk в сообщении #166094 писал(а):

т.е получившийся ответ нужно проинтегрировать ?

Ничего более интегрировать не нужно. Просто умные дяди пытаются показаться еще более умными и, в результате этих усилий, Вас запутывают.
Умные дяди говорили, что полученное Вами решение задает функцию у от переменной х не в виде явного аналитического выражения, а как решение некоторого уравнения:

Pypuk в сообщении #166052 писал(а):

$x^2+y+e^x^y$=С

Ничего страшного в этом нет. Такое задание функции называется неявным ее заданием и, по всеобщей договоренности, считается корректным ответом к задаче. Кроме того, умный дядя zoo вспомнил, что всякая функция, принимающая постоянные значения на интегральных кривых уравнения, называется первым интегралом этого уравнения. Вы получили связь между у и х именно в виде такой функции , то есть уже нашли первый интеграл. Вот и пишите смело его в ответ, не обращая внимания на дальнейшие споры умных дяденек.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #166097 писал(а):

Умные дяди говорили, что полученное Вами решение задает функцию у от переменной х не в виде явного аналитического выражения, а как решение некоторого уравнения:

Клевета, я ничего подобного не говорил.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #166103 писал(а):

Клевета, я ничего подобного не говорил.

Ну...Я же писал про умных дядей

[ewert]

Тут отметились только пятеро дядей. Четверо из них, как Вы только что сообщили, умными не являются. А должно быть умных (опять же по-Вашему) -- не менее двух. Так кто же второй?...

[Azog]

Так и подмывает сказать что декан

[Pypuk]

Откуда это ?

ewert писал(а):

${\partial P\over\partial y}={\partial Q\over\partial x}=(1+xy)e^{xy} \quad\Rightarrow\quad \exists U(x,y):\ {\partial U\over\partial x}=P,\ {\partial U\over\partial y}=Q$

Нипаняяятно...

[antbez]

Равенство между собой этих частных производных приводит к мысли о существовании функции (обозначаемой через u) с частными производными, равными функциям M и N.