Автоморфизмы поля алгебраических чисел

[Bober2]

Добрый день, уважаемые участники форума! Есть ли какая-нибудь информация о том, как выглядит группа $Aut(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$?

[dgwuqtj]

Это же большой раздел теории чисел, изучение абсолютной группы Галуа поля $\mathbb Q$. Согласно Википедии, даже структура её абелианизации (группа Галуа наибольшего абелевого расширения $\mathbb Q$) полностью не известна, есть только гипотеза. Хотя абелианизация хоть как-то описывается глобальной теорией полей классов.

Ну и известно, что любая конечная разрешимая группа является группой Галуа некоторого конечного расширения $\mathbb Q$, то есть конечной фактор-группой $\operatorname{Aut}(\overline{\mathbb Q} / \mathbb Q)$. Для произвольных конечных групп это вроде открытая проблема.

[Bober2]

dgwuqtj в сообщении #1652622 писал(а):

Это же большой раздел теории чисел, изучение абсолютной группы Галуа поля $\mathbb Q$. Согласно Википедии, даже структура её абелианизации (группа Галуа наибольшего абелевого расширения $\mathbb Q$) полностью не известна, есть только гипотеза. Хотя абелианизация хоть как-то описывается глобальной теорией полей классов.

Ну и известно, что любая конечная разрешимая группа является группой Галуа некоторого конечного расширения $\mathbb Q$, то есть конечной фактор-группой $\operatorname{Aut}(\overline{\mathbb Q} / \mathbb Q)$. Для произвольных конечных групп это вроде открытая проблема.

А Вы не подскажите, где можно найти докащательство факта про разрешимые группы?

[dgwuqtj]

Это статьи Шафаревича, вот первая и вторая. В Википедии пишут, что доказательство в основном в первой статье, но там есть пробел, и во второй он закрыт.

[Slav-27]

Строение абелианизации $\operatorname{Aut}\bar{\mathbb Q}/\mathbb Q$ известно: она изоморфна $\widehat{\mathbb Z}^\times\simeq\prod_p\mathbb Z_p^\times$, где $\mathbb Z_p$ -- $p$-адические числа, произведение по всем простым $p$, а $R^\times$ -- группа обратимых элементов кольца $R$. Это несложное следствие теоремы Кронекера -- Вебера, которая говорит, что любое конечное расширение $\mathbb Q$ с абелевой группой Галуа вкладывается в $\mathbb Q(e^{2\pi i/n})$ для некоторого $n\in\mathbb N$. (Например, $\sqrt 5=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5}$, поэтому $\mathbb Q(\sqrt 5)\subset \mathbb Q(e^{2\pi i/5})$.)