Кое-что о примере Ковалевской

[drzewo]

Ковалевская придумала пример, который показывает, что если некоторая группа условий ее (а так же Коши и Вейерштрасса) теоремы не выполнены, то и теорема неверна.
То, что я собираюсь рассказать, так или иначе известно.
Пример следующий:

$$u_t=u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\frac{1}{1+z^2}.\quad t,z\in\mathbb{C}.$$

Ковалевская показала, что не существует голоморфной в нуле пространства $\mathbb{C}^2$ функции $u=u(t,z)$ которая удовлетворяла бы данному уравнению.
Это совершенно естественно, ибо если бы такое решение существовало, то оно было бы определено при некоторых $t<0$. А уравнение теплопроводности назад решать нельзя.
Казалось бы это все. Однако.
Введем банахово пространство

$$X=\Big\{v=\sum_{k=0}^\infty v_kz^k\mid \|v\|=\sup_{k}\{k! |v_k|\}<\infty\Big\}.$$

Это подпространство в пространстве целых функций.
Через $\mathscr H_r$ обозначим подпространство в пространстве
$C^1\big(\{{|t|\le r\}, X\big)$, которое состоит из голоморфных в $\{{|t|< r\}$ функций.

Теорема. При любом $r>0$ задача Коши

$$u_t=u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\hat u\in X$$

имеет и при том единственное решение в $\mathscr H_r$ (на самом деле единственное в гораздо более широком классе функций) .
Более того, это решение непрерывно зависит от начального условия.

А сама теорема доказывается с помощью принципа сжатых отображений. Что уже совсем неприлично.

[Red_Herring]

Для уравнений, в которых производная по $t$ равноценна $q>1 $ производным по $x$, аналитичность по $t$ противоестественна. А вот если рассмотреть решения, аналитические по $x$ и гладкие, или даже жевреевские с показателем $q$ по $t$, то все хорошо (хотя, как мне кажется, не очень интересно).

(Оффтоп)

50 с лишним лет назад на семинаре С.Л.Соболева докладывалась какая-то докторская по обратным задачам сейсмологии, и там все рассматривалось в классах аналитических функций. Сергей Львович сурово промолвил "в земле аналитичности нет!"

[Vince Diesel]

Red_Herring в сообщении #1650362 писал(а):

Для уравнений, в которых производная по $t$ равноценна $q>1 $ производным по $x$, аналитичность по $t$ противоестественна.

Локально. Любопытно, что для уравнения теплопроводности, я бы сказал глобально, аналитичность по $t$ может быть. Например, фундаментальное решение уравнения теплопроводности $\Gamma(x,t)=(4\pi t)^{-n/2}e^{-x^2/4t}$ аналитично по $t$ если $t>0$. Соответственно, ограниченное решение задачи Коши с ограниченной начальной функцией (которое представляется в виде интеграла Пуассона) будет аналитично при $t>0$.

[Red_Herring]

Vince Diesel
Разумеется, я имел в виду аналитичность решений задачи Коши в начальный момент времени. Свойством аналитической гипоэллиптичности (т.е. решение аналогично там, где правая част аналитична) обладают довольно многие уравнения.

[drzewo]

Red_Herring в сообщении #1650362 писал(а):

Для уравнений, в которых производная по $t$ равноценна $q>1 $ производным по $x$, аналитичность по $t$ противоестественна. А вот если рассмотреть решения, аналитические по $x$ и гладкие, или даже жевреевские с показателем $q$ по $t$, то все хорошо (хотя, как мне кажется, не очень интересно).

дык, вообще-то в стартовом посте сформулирована теорема о корректности задачи в классе функций аналитичных по $t$

[Red_Herring]

drzewo в сообщении #1650437 писал(а):

дык, вообще-то в стартовом посте сформулирована теорема о корректности задачи в классе функций аналитичных по $t$

Какое условие на начальную функцию? Что-то вроде $|v^{(k)}|\le C$. Его можно легко ослабить до $|v^{(k)}|\le C\sqrt{k!} $. Но не сильно дальше, иначе аналитичности по $t$ не будет.

[drzewo]

О том, что условия можно ослабить, представьте себе, известно не только вам. Для того чтобы понять в чем забавность примера, надо во-первых, читать внимательно, что написано в стартовом посте, а во-вторых, иметь опыт работы с задачей Коши-Ковалевской.

-- 31.08.2024, 23:19 --

(Оффтоп)

Vince Diesel в сообщении #1650427 писал(а):

Например, фундаментальное решение уравнения теплопроводности $\Gamma(x,t)=(4\pi t)^{-n/2}e^{-x^2/4t}$ аналитично по $t$ если $t>0$. Соответственно, ограниченное решение задачи Коши с ограниченной начальной функцией (которое представляется в виде интеграла Пуассона) будет аналитично при $t>0$.

таки можно еще и про секториальные операторы вспомнить и про соответствующие полугруппы. Много чего можно в этой связи вспомнить.