Формула включений/исключений

[Elijah96]

dgwuqtj в сообщении #1652415 писал(а):

Elijah96 в сообщении #1652407 писал(а):

Если $x$ $\in$ $A_i$ то он будет учитываться $\binom n 1$

Нет, это же зависит от того, каким ещё множествам принадлежит $x$.

Тогда нужно сложить всевозможные варианты его учтений?

[lel0lel]

Elijah96 в сообщении #1652407 писал(а):

Если $x$ $\in$ $A_i$ то он будет учитываться $\binom n 1$

Во - первых, мне кажется, вы хотели сказать, что принадлежит только некоторому $A_i$ и никому больше из исходных множеств. Если это хочется записать кванторами, то можно использовать симметрическуя разность исходных множеств. Во-вторых, не нужно пока биномиальных коэффициентов (чисел сочетаний) считайте честно, прямо руками, сколько раз он учитывается формулой. В-третьих, напишите чему равен $\binom{n}{1}$.

[Elijah96]

lel0lel в сообщении #1652418 писал(а):

В-третьих, напишите чему равен $\binom{n}{1}$.

Это число сочетаний из n по k

$$\binom {n}{1} = 1 $$

lel0lel в сообщении #1652418 писал(а):

считайте честно, прямо руками, сколько раз он учитывается формулой

$x$ $\notin$ $A_i$ $ \quad $ , $ \quad $ $x$ $\notin$ $A_i \cap A_j$ $ \quad $ , $ \quad $ $x$ $\notin$ $A_i \cap A_j \cap A_k$ $ \quad $ , $ \quad $ $ $ $x$ $\notin$ $A_i \cap A_j \cap A_k \cap ... \cap A_n$

$x$ $\in$ $A_i$ $ \quad $ , $ \quad $ $x$ $\notin$ $A_i \cap A_j$ $ \quad $ , $ \quad $ $x$ $\notin$ $A_i \cap A_j \cap A_k$ $ \quad $ , $ \quad $ $x$ $\notin$ $A_i \cap A_j \cap A_k \cap ... \cap A_n$

$x$ $\in$ $A_i$ $ \quad $ , $ \quad $ $x$ $\in$ $A_i \cap A_j$ $ \quad $ , $ \quad $ $x$ $\notin$ $A_i \cap A_j \cap A_k$ $ \quad $ , $ \quad $ $ $ $x$ $\notin$ $A_i \cap A_j \cap A_k \cap ... \cap A_n$

$x$ $\in$ $A_i$ $ \quad $ , $ \quad $ $x$ $\in$ $A_i \cap A_j$ $ \quad $ , $ \quad $ $x$ $\in$ $A_i \cap A_j \cap A_k$ $ \quad $ , $ \quad $ $x$ $\notin$ $A_i \cap A_j \cap A_k \cap ... \cap A_n$

$x$ $\in$ $A_i$ $ \quad $ , $ \quad $ $x$ $\in$ $A_i \cap A_j$ $ \quad $ , $ \quad $ $x$ $\in$ $A_i \cap A_j \cap A_k$ $ \quad $ , $ \quad $ $ $ $x$ $\in$ $A_i \cap A_j \cap A_k \cap ... \cap A_n$

Так?

[lel0lel]

Elijah96 в сообщении #1652424 писал(а):

Это число сочетаний из n по k

$$\binom {n}{1} = 1 $$

Выбрать один объект из $n$ различных можно $n$ способами. Ищите ошибку в расчетах, если они вообще были.

[Elijah96]

lel0lel в сообщении #1652429 писал(а):

Выбрать один объект из $n$ различных можно $n$ способами. Ищите ошибку в расчетах, если они вообще были.

Да,точно,спасибо
Я опять ошибся

[dgwuqtj]

Elijah96 в сообщении #1652424 писал(а):

Так?

У вас каждая строка — это какой-то вариант? Так не пойдёт. Эти строки не исчерпывают все возможности.

Почему бы просто не написать все $2^n$ случаев? Для них хотя бы легко доказать, что они всё покрывают. Вы бы с этого начали, что у вас именно полный перебор и ничего не пропущено.

$$ \begin{cases} x \in A_1,\, \ldots,\, x \in A_{n - 1},\, x \in A_n; \\ x \in A_1,\, \ldots,\, x \in A_{n - 1},\, x \notin A_n; \\ x \in A_1,\, \ldots,\, x \notin A_{n - 1},\, x \in A_n; \\ x \in A_1,\, \ldots,\, x \notin A_{n - 1},\, x \notin A_n; \\ \ldots \\ x \notin A_1,\, \ldots,\, x \notin A_{n - 1},\, x \in A_n; \\ x \notin A_1,\, \ldots,\, x \notin A_{n - 1},\, x \notin A_n. \end{cases} $$

[Elijah96]

dgwuqtj в сообщении #1652436 писал(а):

Почему бы просто не написать все $2^n$ случаев?

А как написать весь перебор если множеств n?
Я имею ввиду их не конкретно "сколько-то"
Их n

[dgwuqtj]

Elijah96 в сообщении #1652437 писал(а):

А как написать весь перебор если множеств n?

А раньше вы как это писали??? Мысленно пишите, а в реальности оставляйте многоточия. Видели доказательства чего-то в духе $(a_1 + \ldots + a_n)^2 = a_1^2 + \ldots + a_n^2 + 2 a_1 a_2 + \ldots + 2 a_{n - 1} a_n$?

[Elijah96]

dgwuqtj в сообщении #1652439 писал(а):

А раньше вы как это писали???

Раньше я писал для конкретного количества множеств
А для n множеств не писал

-- 30.08.2024, 23:09 --

dgwuqtj в сообщении #1652439 писал(а):

Видели доказательства чего-то в духе $(a_1 + \ldots + a_n)^2 = a_1^2 + \ldots + a_n^2 + 2 a_1 a_2 + \ldots + 2 a_{n - 1} a_n$?

Таких доказательств я не видел

-- 30.08.2024, 23:16 --

И что даст всевозможный перебор?

[dgwuqtj]

Elijah96 в сообщении #1652442 писал(а):

И что даст всевозможный перебор?

Ну... Если вы не поняли, как доказывать для трёх множеств, то ничего. Это же просто обобщение.

[Elijah96]

dgwuqtj в сообщении #1652107 писал(а):

Вообще, если уж доказывать перебором случаев, то удобнее такие варианты рассматривать:
1. $x \in A$, $x \in B$ и $x \in C$;
2. $x \in A$, $x \in B$ и $x \notin C$;
3. $x \in A$, $x \notin B$ и $x \in C$;
4. $x \in A$, $x \notin B$ и $x \notin C$;
5. $x \notin A$, $x \in B$ и $x \in C$;
6. $x \notin A$, $x \in B$ и $x \notin C$;
7. $x \notin A$, $x \notin B$ и $x \in C$;
8. $x \notin A$, $x \notin B$ и $x \notin C$.
Во-первых, сразу видно, что это все возможные случаи. То есть для любого элемента $x$ какой-то из этих случаев реализуется (на самом деле ровно один). А во-вторых, для каждого из этих случаев легко проверить, каким множествам, сконструированным из $A$, $B$, $C$, будет принадлежать $x$. Просто по определению, например, в третьем случае $x \notin A \cap B$ (потому что $x \notin B$) и $x \in A \cap C$ (потому что $x \in A$ и $x \in C$).

Вы же писали таблицу для трех множеств
Это она?

[dgwuqtj]

Да, ровно такая же табличка при $n = 3$. С ней удобнее перебирать и доказывать, что перебор полный.

[Elijah96]

То есть если перебрать все возможные случаи то можно визуально увидеть а потом посчитать их
А мощность объединения это сумма всех возможных случаев за исключением случая когда $x$ никуда не будет включен(в Вашем примере это случай 8)
А в любом отдельно взятом случае, $x$ будет учтен ровно один раз

Или я опять не туда свернул?

[dgwuqtj]

Elijah96 в сообщении #1652446 писал(а):

то можно визуально увидеть

В каком смысле? Формулы вы буквально напишете, их "видеть" не надо. Какую-нибудь диаграмму Венна вы и для 4 множеств не нарисуете, по крайней мере, вот так вот просто.

В остальном как-то так. Вы это понимаете или просто состыковываете слова, как нейросеть, чтобы было грамматически корректно?

[Elijah96]

Поправка

Elijah96 в сообщении #1652446 писал(а):

А в любом отдельно взятом случае, $x$ будет учтен ровно один раз

"Не учтен один раз"

А "сценарий",при котором $x$ будет "хоть куда-то включен" может реализоваться только один из 7(1-7 в таблице)
В 8 случае $x$ никуда не включен,значит и в объединении его быть не может

-- 30.08.2024, 23:52 --

dgwuqtj в сообщении #1652447 писал(а):

Вы это понимаете или просто состыковываете слова, как нейросеть, чтобы было грамматически корректно?

Пытаюсь понять

В левой части формулы В/И(то есть в объединении всех множеств),"сценарий" для $x$ только один,это собственно само объединение
А в правой части для $x$ ,"сценариев" может быть множество,но произойдет только один
Значит в левой и правой части для $x$ будет по одному "сценарию"