2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Определение функции
Сообщение25.08.2024, 21:05 


22/10/20
1185
dgwuqtj в сообщении #1651443 писал(а):
третье — это оценка интеграла через супремум подынтегральной функции.
Можно вот это равенство более подробно? $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int_{x_0}^{x_0 + \Delta x} o(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$$ По-моему, здесь довольно большой угол срезан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение функции
Сообщение25.08.2024, 21:48 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Речь идёт про равенство $\int_{x_0}^{x_0 + \Delta x} o(1) = o(\Delta x)$, где в левой части $o(1)$ обозначает некоторую функцию одной переменной, по которой идёт интегрирование, а в правой части $o(\Delta x)$ обозначает функцию от $\Delta x$. Это следует из оценки $|\int_a^b f| \leq |a - b| \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|$, где $[a, b] = [b, a]$ при $a > b$. Просто потому что $\sup_{x \in [x_0, x_0 + \Delta x]} |o(1)| = o(1)$. Когда такие вещи формализуют в пруфчекерах, появляются длинные списки из всяких очевидных лемм...

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение функции
Сообщение26.08.2024, 08:28 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
EminentVictorians в сообщении #1650811 писал(а):
Примерно такой матанализ мне нужен.

Мат.анализ на уровне 18 века. За бортом останется большая и важная часть мат.анализа -- обоснование допустимости перестановки предельных переходов, перемены порядка суммирования и т.д. Вы все эти теоремы просто к формализму свести хотите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение функции
Сообщение26.08.2024, 11:40 


21/12/16
721
Переписывать и перетрактовывать разными способами известные вещи легче чем решать задачи. В этом все дело.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение функции
Сообщение26.08.2024, 15:12 


22/10/20
1185
dgwuqtj в сообщении #1651519 писал(а):
Речь идёт про равенство $\int_{x_0}^{x_0 + \Delta x} o(1) = o(\Delta x)$, где в левой части $o(1)$ обозначает некоторую функцию одной переменной, по которой идёт интегрирование, а в правой части $o(\Delta x)$ обозначает функцию от $\Delta x$.
Так здесь целая теорема спрятана, причем нетривиальная.

Я бы её сформулировал так:

Через $\alpha(x)_{x \to x_0}$ я буду обозначать бесконечно малую по той базе, которая указана под именем функции.

Теорема:
Пусть есть функция $\alpha(x)_{x \to x_0}$, определенная в точке $x_0$ и в некоторой её (возможно, полу-)окрестности $U(x_0)$, причем $f(x_0) = 0$ (т.е. она непрерывна в $x_0$). Так же она интегрируема в этой (возможно, полу-)окрестности. Это значит, что $$\forall x \in U(x_0)$$ $$\exists \int\limits_{x_0}^{x}\alpha(x)_{x \to x_0}$$

Тогда: $$\lim\limits_{\Delta x \to 0}^{}\frac{\int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} \alpha(x)_{x \to x_0}}{\Delta x} = 0$$


Доказательство:

Опять буду делать по определению предела.

Выберем произвольный $\varepsilon > 0$. Т.к. $\alpha(x)_{x \to x_0}$ непрерывна в $x_0$, это значит, что $\exists \delta > 0$ такая, что для любых $x$ таких, что $|x - x_0| < \delta$ и при которых $\alpha(x)$ определена, выполняется $- \varepsilon < \alpha(x) < \varepsilon$. Выберем произвольный $\Delta x$ такой, что как отрезок он является подмножеством области определения нашей альфы, и $|\Delta x| < \delta$.

Из двойного неравенства для альфы получаем следующее:
$$ - \varepsilon |\Delta x| \quad \leqslant \int\limits_{\operatorname{min} (x_0, x_0 + \Delta x)}^{\operatorname{max} (x_0, x_0 + \Delta x) } \alpha(x) \quad \leqslant \quad  \varepsilon |\Delta x| \quad \quad (1)$$
$$ - \varepsilon \quad \leqslant \frac{\int\limits_{\operatorname{min} (x_0, x_0 + \Delta x)}^{\operatorname{max} (x_0, x_0 + \Delta x) } \alpha(x)}{|\Delta x|} \quad \leqslant \quad \varepsilon  \quad \quad (2)$$

А дальше все то же самое, что и в предыдущем доказательстве.

Учитывая $$ \left| \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x}\alpha(x) \right| = \left| \int\limits_{\operatorname{min} (x_0, x_0 + \Delta x)}^{\operatorname{max} (x_0, x_0 + \Delta x) } \alpha(x) \right|$$
получаем, что

$$\frac{ \int\limits_{\operatorname{min} (x_0, x_0 + \Delta x)}^{\operatorname{max} (x_0, x_0 + \Delta x) } \alpha(x) }{|\Delta x|} = \frac{\int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x}\alpha(x)}{\Delta x}$$

а значит (см (2) ): $$ - \varepsilon \quad \leqslant \frac{\int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x}\alpha(x)}{\Delta x} \quad \leqslant \quad \varepsilon$$

что и доказывает нужное нам утверждение.


Дргими словами, если обозначить за $$\beta (\Delta x) = \frac{\int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x}\alpha(x)}{\Delta x}$$
то получаем, что $$\int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x}\alpha(x) = \beta (\Delta x)_{\Delta x \to 0} \Delta x = o(\Delta x)$$
что и требовалось доказать.




По итогу, это равенство просто маскирует в себе всю содержательную часть предыдущего доказательства. Через супремум/инфимум тоже наверное можно, но вряд ли будет сильно уж проще.


И если посмотреть на доказательство (любое из двух), видно, что от всей этой ерунды с контролем областей определения пока избавиться не получается.


Padawan в сообщении #1651577 писал(а):
Мат.анализ на уровне 18 века.
Ну да, мне нужен анализ с актуальными бесконечно малыми и без пределов. Но без логических вывертов, как в нестандартном анализе или SDG. Или хотя бы какая-то техника, позволяющая нормально делать обычный мат.анализ без постоянного контроля областей определения.

Padawan в сообщении #1651577 писал(а):
обоснование допустимости перестановки предельных переходов
Если нету пределов, то и таких теорем тоже нету.

Padawan в сообщении #1651577 писал(а):
Вы все эти теоремы просто к формализму свести хотите?
В определенном смысле да. Я хочу сузить класс функций, но получить гладкость преобразований. Чтобы, например, была возможность алгоритмически определять корректность областей определения. Иными словами, есть у меня функция $f(x) + g(x)$. Я пишу $$\lim\limits_{B}^{} f(x) + g(x) = \lim\limits_{B}^{} f(x) + \lim\limits_{B}^{} g(x)$$

И я не хочу постоянно проверять, корректно ли брать предел по такой-то базе для такой-то функции. Т.е. чтобы если я попытался взять, например, $$\lim\limits_{x \to + \infty}^{} \sqrt{x} + \sqrt{-x}$$ то компилятор бы подсветил мне, что такой переход делать нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение функции
Сообщение26.08.2024, 15:47 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
EminentVictorians в сообщении #1651681 писал(а):
Через супремум/инфимум тоже наверное можно, но вряд ли будет сильно уж проще.

Оно концептуально проще, к тому же оценка интеграла через супремум подыинтегральной функции - это довольно фундаментальная вещь. Другое дело, что супремум по сужающемуся отрезку тоже бесконечно малый, но этот факт к интегралам не относится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group