Сигма алгебры на пространстве непр функций

[seraphimt]

Здравствуйте. Читаю книгу Ширяева по теорверу и наткнулся на утверждение, которое не могу понять до конца. О том, что борелевская сигма алгебра на $C[0,1]$ совпадает с сигма алгеброй, порождённой цилиндрическим множествами.
Непонятно, что собственно такое цилиндрическое множество в этом случае. В случае просто функций на отрезке понятно, там будет $\mathbb{R}^{[0,1]}$ и цилиндры - это там где на конечном числе мест в произведении стоят множества из борелевской на прямой, а остальные добиты всем $\mathbb{R}$.
Берётся $B = \{x: x_{t_0} < b\}\times\prod\limits_{t \ne t_0}$ и делается вывод, что оно открыто. Это понятно почему: берём любую функцию из открытого шара радиуса $r = \frac{|x_{t_0} - b|}{2}$, она в любой точке будет отличаться от $x_{t_0}$ не более чем на
$r$ и значит в точке $t_0$ тоже.
Далее, делается вывод, что $B_n=\{x: x_{t_0} < b_0, … , x_{t_n} < b_n\}\times\prod\limits_{t \ne t_0, … t_n}$ тоже открыты. Как понимаю, как конечное пересечение открытых. И теперь говорится, что "открытая алгебра" содержит цилиндрическую. Вот тут тоже не совсем ясно. Насколько могу предположить, это потому, что лучами можно породить любой борелевский цилиндр, так что если лучи открыты, то всё, что порождено цилиндрами тоже лежит в открытой алгебре. А цилиндрическая алгебра как раз порождается всевозможному цилиндрами.

Картинка с книжки:

(Оффтоп)

[dgwuqtj]

Видимо, цилиндрические множества — это пересечения $\mathrm C([0, 1])$ и цилиндрических подмножеств $\mathbb R^{[0, 1]}$. Открытая алгебра содержит цилиндрическую, потому что буквально все цилиндрические множества выражаются через открытые. А именно, цилиндрическое множество $\{x \mid x_{t_0} \in E\}$ выражается через открытые множества $\{x \mid x_{t_0} < b\}$, потому что $E$ борелевское. Выражается в том смысле, что получается операциями сигма-алгебры, возможно, за трансфинитное (но счётное) число шагов.

[мат-ламер]

seraphimt в сообщении #1650051 писал(а):

Непонятно, что собственно такое цилиндрическое множество в этом случае. В случае просто функций на отрезке понятно

В этом случае у нас не "просто функции", а непрерывные функции. Всё остальное то же самое. Пару страниц назад в учебнике картинка приведена на эту тему. Там непрерывная функция проходит через коридорчики. (Ограничение может быть и односторонним).

Но если с этим туго, то вопрос можно отложить на потом. Вроде как необходимость в нём возникнет только во втором томе.

[seraphimt]

dgwuqtj в сообщении #1650063 писал(а):

А именно, цилиндрическое множество $\{x \mid x_{t_0} \in E\}$ выражается через открытые множества $\{x \mid x_{t_0} < b\}$, потому что $E$ борелевское. Выражается в том смысле, что получается операциями сигма-алгебры, возможно, за трансфинитное (но счётное) число шагов.

Насколько я понял, это рассуждение равносильно моему, только "с другого конца"?

мат-ламер в сообщении #1650143 писал(а):

В этом случае у нас не "просто функции", а непрерывные функции. Всё остальное то же самое. Пару страниц назад в учебнике картинка приведена на эту тему. Там непрерывная функция проходит через коридорчики. (Ограничение может быть и односторонним).

Не совсем понятно, произведение чего можно интерпретировать как непрерывные функции. Т.е. произведение прямых, занумерованных отрезком $[0,1]$интерпретируются как функции $f:[0,1] \to R$. А что перемножить, чтобы получить непрерывные функции?

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1650143 писал(а):

Вроде как необходимость в нём возникнет только во втором томе.

У нас в листках есть это утверждение как задачка, так что я очень был рад, что наткнулся на неё при чтении

[мат-ламер]

seraphimt в сообщении #1650193 писал(а):

Не совсем понятно, произведение чего можно интерпретировать как непрерывные функции.

А почему вообще множество некоторых непрерывных функций должно быть произведением чего-то? Множество всех функций есть декартово произведение. А подмножество этого множества не обязано быть декартовым произведением чего-нибудь. Рассмотрим простой пример. Пусть у нас есть единичный квадрат на плоскости. Он является декартовым произведением. Рассмотрим некоторую окружность, лежащую в этом квадрате. Ну, и зачем её интерпретировать как декартово произведение?

[Padawan]

Цитата:

Далее, делается вывод, что $B_n=\{x: x_{t_0} < b_0, … , x_{t_n} < b_n\}\times\prod\limits_{t \ne t_0, … t_n}$ тоже открыты. Как понимаю, как конечное пересечение открытых. И теперь говорится, что "открытая алгебра" содержит цилиндрическую. Вот тут тоже не совсем ясно.

Сигма-алебра, порожденная некоторым семейством множеств - это наименьшая сигма-алгебра, содержащая все эти множества. Раз мы проверили, что все элементы, порождающие $\mathscr B(C) $ лежат в некоторой сигма-алгебре, то и $\mathscr B(C)$ лежит в этой сигма-алгебре. А в обратную сторону надо проверить, что любая $\varepsilon$-окрестность непрерывной функции (в равномерной метрике) лежит в $\mathscr B(C) $. Подсказка: Непрерывные функции $x(t), y(t)$ удовлетворяют неравенству$ |x(t) -y(t) |\leqslant \varepsilon$ для всех $t$ тогда и только тогда, когда они удовлетворяют этому неравенству при всех рациональных $t$.

[seraphimt]

мат-ламер в сообщении #1650237 писал(а):

Ну, и зачем её интерпретировать как декартово произведение?

Да, согласен с примером. Просто примеры и определение цилиндров нам давали на декартовом произведении и я не особо понимаю, что же будет ими в другом случае. Вроде бы да, здесь это будут функции проходящие через определённые "борелевские оконца", только не любые, а непрерывные. Но в общем случае? Или нет такого определения?

Padawan
Спасибо, в обратную сторону полегче, получается, что любой открытый шар представляется в виде: $B = \bigcap_t^{\infty} \{x\in C x_t-y_t| < \epsilon\} $, где $t$ пробегает рациональные числа. А каждое множество в пересечении - просто отрезок и значит будет цилиндром. В итоге каждый шар состоит из цилиндров.

[мат-ламер]

seraphimt в сообщении #1650516 писал(а):

Просто примеры и определение цилиндров нам давали на декартовом произведении и я не особо понимаю, что же будет ими в другом случае. Вроде бы да, здесь это будут функции проходящие через определённые "борелевские оконца", только не любые, а непрерывные. Но в общем случае? Или нет такого определения?

Что такое цилиндрические подмножества в общем случае? У нас есть множество координат. Мы разделяем это множество на две категории. Для первой категории мы выделяем из нашего сечения по каждой конкретной координате некое подмножество (в данном случае - требуем прохождение через некое окошко). Для второй категории координат мы не делаем ничего.