Методом тестирования отыскивается неисправность в

[CucRH]

Методом тестирования отыскивается неисправность в арифметическом устройстве вычислительной машины. Можно считать, что есть 4 шанса из 5, что неисправность сосредоточена в одном из 8 микропроцессоров, с равной вероятностью - в любом из них. Были испытаны 7 из этих микропроцессоров, но неисправность не обнаружена. Какова вероятность обнаружить неисправность в последнем из восьми микропроцессоров?

$A =$ {Неисправность в микропроцессоре}
$B_{i} =$ {Неисправен один из i микропроцессоров}
$\bar{B}_{i} =$ {i микропроцессоров исправно}
$C_{i} =$ {Неисправен i микропроцессор}

Дано:
$P(A) = \frac{4}{5}$
$P(C_{i}|A) = \frac{1}{8}$
Найти:
$P(B_{8}|\bar{B}_{7})$

Решение:
Найдем $P(C_{i})$. По формуле полной вероятности: $P(C_{i}) = P(A)P(C_{i}|A) + P(\bar{A})P(C_{i}|\bar{A}) = P(A)P(C_{i}|A) = \frac{4}{5} \frac{1}{8} = \frac{1}{10}$.

Тогда $P(B_{8}) = 8\cdot\frac{1}{10}\cdot(\frac{9}{10})^7$

$P(B_{8}|\bar{B}_{7}) = \frac{P(B_8 \bar{B}_{7})}{P(\bar{B}_{7})} = \frac{P(B_8) P(\bar{B}_{7} | B_8)}{P(\bar{B}_{7})} = \frac{8\cdot\frac{1}{10}\cdot(\frac{9}{10})^7 \cdot (\frac{9}{10})^7}{8\cdot(\frac{9}{10})^7} =\frac{1}{10}\cdot(\frac{9}{10})^7$

Но в ответе указано $\frac{1}{3}$. Что я делаю не так?

[Mihr]

У Вас очень неудобные обозначения, они Вас только путают. На самом деле формула полной вероятности не нужна, достаточно лишь формулы условной вероятности. Давайте рассуждать сначала. С вероятностью 1/10 неисправен каждый из микропроцессоров 1, ... , 8. Вы это написали.
Чему равна вероятность того, что неисправность вообще не здесь (не в одном из этих микропроцессоров)?
А чему равна вероятность того, что неисправность или в 8-м микропроцессоре или, опять же, не здесь?
Ответьте на эти вопросы и, возможно, сами увидите ответ.

[CucRH]

Mihr в сообщении #1650508 писал(а):

Чему равна вероятность того, что неисправность вообще не здесь (не в одном из этих микропроцессоров)?
.

$1 - P(A) = \frac{1}{5}$

Mihr в сообщении #1650508 писал(а):

А чему равна вероятность того, что неисправность или в 8-м микропроцессоре или, опять же, не здесь?
.

Разве здесь микропроцессоры не обезличены? То-есть оставшийся микропроцессор неизвестно, какой имеет номер. Я поэтому и рассматривал событие {Неисправен один из i микропроцессоров}

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

[Mihr]

Не знаю, что значит "обезличены". Я понимаю условие так: либо неисправен один из восьми пронумерованных микропроцессоров, либо неисправность где-то в другом месте, не среди этих микропроцессоров (9-я возможность). Вероятность того, что неисправен какой-то из микропроцессоров, по условию равна $\dfrac{4}{5}=0,8$. Поскольку вероятность для каждого из них оказаться неисправным одинакова, значит, каждый из них может оказаться неисправным с априорной вероятностью $\dfrac{1}{8}\cdot0,8=0,1$. Ну, а вероятность того, что неисправность где-то ещё (вероятность той самой девятой возможности) составляет $1-0,8=0,2$ (Вы это уже написали).
Дальше попробуйте разобраться сами, осталось порассуждать совсем немного.

-- 17.08.2024, 23:35 --

Пусть изначально микропроцессоры не были пронумерованы, что это меняет? Семь из них проверены, они исправны. Значит, неисправен либо восьмой (ещё не проверенный), либо неисправность где-то в другом месте.

[CucRH]

Mihr в сообщении #1650526 писал(а):

Не знаю, что значит "обезличены". Я понимаю условие так: либо неисправен один из восьми пронумерованных микропроцессоров, либо неисправность где-то в другом месте, не среди этих микропроцессоров (9-я возможность). Вероятность того, что неисправен какой-то из микропроцессоров, по условию равна $\dfrac{4}{5}=0,8$. Поскольку вероятность для каждого из них оказаться неисправным одинакова, значит, каждый из них может оказаться неисправным с априорной вероятностью $\dfrac{1}{8}\cdot0,8=0,1$. Ну, а вероятность того, что неисправность где-то ещё (вероятность той самой девятой возможности) составляет $1-0,8=0,2$ (Вы это уже написали).
Дальше попробуйте разобраться сами, осталось порассуждать совсем немного.

-- 17.08.2024, 23:35 --

Пусть изначально микропроцессоры не были пронумерованы, что это меняет? Семь из них проверены, они исправны. Значит, неисправен либо восьмой (ещё не проверенный), либо неисправность где-то в другом месте.

Вы намекаете на то, что события $C_0, C_1, \cdots C_8$ образуют полную группу событий? Но тогда все равно при условии, что семь микропроцессоров исправны, есть только два исхода. Откуда берется $ \frac{1}{3}$?

[Mihr]

CucRH в сообщении #1650572 писал(а):

Откуда берется $ \frac{1}{3}$?

Вы это сами увидите, если последовательно ответите на следующие вопросы (использую Ваши обозначения событий):
1. Чему равна вероятность события $C_8$?
2. Чему равна вероятность события $C_8 \vee C_0$?
3. Чему равна условная вероятность события $C_8$ при условии, что наступило событие $C_8 \vee C_0$?

[CucRH]

Понял, спасибо.