Замена переменной в ДУ

[GAA]

Future engineer-builder писал(а):

$\int \frac {du}{u-u^2}=2y$Так?

Нет!
Так: $\int \frac {du}{u-u^2}=2y$, $u=0$, $u=1$.

[Future engineer-builder]

Откуда взяли решения $u=0$ и ;$u=1$

[GAA]

Из

GAA писал(а):

$\frac {du}{2dy}}=u-u^2$

.

[Future engineer-builder]

Вы наверное хотели сказать, что $u$ не равняется $o$ и $u$ не равняется$1$

Добавлено спустя 3 минуты 24 секунды:

Получается $y=u/1-u$

[GAA]

Нет! Наоборот! Я хочу сказать, что
$\frac {du}{2dy}}=u-u^2$ эквивалентно $u=0$ или $u=1$ или $\frac{du}{u-u^2} = 2dy$.

[Future engineer-builder]

Благодарю Вас, но я запутался. Мне-то вообще интересно было то, как делать замену правильно, например, при последующей замене функции аргумент в скобках указывается один и тот же - $x$?

Пример:

$y(x)=p(x)$
$p(x)=r(x)$

или

$y(x)=p(y)$
$p(y)=r(p)$

[GAA]

То, что Вы написали в последнем сообщении — понять невозможно.

Будем говорить об уравнении второго порядка.
1. Если в уравнение не входит искомая функция, то для понижения порядка делается замена $y’(x)=p(x)$, тогда $y’’(x)=p’(x)$.
2. Если в уравнение не входит независимая переменная, то для понижения порядка делается замена $y’(x)=p(y)$, тогда $y’’(x)=p(y)dp(y)/dy$.
3. Если уравнение однородное относительно функции и её производных, то делается замена $y’/y=z$, тогда $y’’(x)= y(z^2(x)+z’(x))$.

Есть и другие случаи понижения порядка. О понижении порядка дифференциального уравнения можно посмотреть в книгах по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Например:
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление;
Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.
Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Эти книги свободно доступны в электронном виде на EqWorld.

[Future engineer-builder]

C самого начала неверно дал информацию по ДУ
Допустим ДУ не содержит явно независимой переменной $x$
$2yy''-(y')^2+(y')^4=0$,
тогда $y'(x)=p(y)$, $y''(x)=p(y)dp(y)/dy$
А вот когда дальше идет замена $u=p^2$, $u^2=p^4$, то как записывается эта зависимость, может так $u(p)=p^2(y)$, $u^2(p)=p^4(y)$?

[GAA]

$p^2(y) =u(y)$, $p^4(y)=u^2(y)$.

[Future engineer-builder]

Тоесть все последующие замены будут от переменной $y$?

Добавлено спустя 43 минуты 31 секунду:

Получился ответ

$2/3(Cy-1)^3^/^2=x+C_1$
$y=\frac {(x+C_1)^2^/^3(3/2)^2^/^3+1}{C}$

При проверке получается громоздкое решение и ответ неверный.

[Таня Санафеева]

Вопрос решен.

[Future engineer-builder]

Цитата:

Вопрос решен.

Да, наконец - нашел одну ошибку в вычислении производной, касающегося степени.

[Future engineer-builder]

Здравствуйте! Однако, к преведенному выше решению у препода появилась претензия. Замечания учителя сделаны красным шрифтом. Решение было такое:
$2yy''+(y')^2+(y')^4=0$
Замена $ y'=p, y''=p'p$
$2yp(dp/dy)+p^2+p^4=0$
Замена $u=p^2, u^2=p^4 $? du/dy=dp/dy? Зачем?

Я так понял, что замена сделана не рационально, т.к. $du/dy=dp/dy$ ничего не дало, кроме понижения степени, которое было лишним.
Решаю следующим образом, а Вы, если я ошибаюсь, пожалуйста поправьте меня:
$2yp(dp/dy)+p^2+p^4=0$ делим на $p$, неравное $0$
$2y(dp/dy)+p+p^3=0$
$\frac {dp}{p+p^3}=(-1/2)\frac {dy}{y}$
В итоге получаем $p=\frac {1}{(Cy-1)^1/2}$ после знака $=$ стоит знак плюс-минус
Правильно ли я понял ошибку?
Ответ в принципе получился прежним, но для преподавателя имеет значение, чтобы решение было рациональным.

[ewert]

смотря что считать рациональным. Если обратить внимание на то, что $2p\cdot p'_y$ в левой части -- это в точности $(p^2)'_y$, то такая замена очень даже рациональна. Другое дело, что она необязательна.

А вот красненькое замечание -- непонятно.

[Future engineer-builder]

А ответ-то Ваш хоть сходится с моим?
$y_1=(3/2)^2^/^3(1/C)^1^/^3(x+C_1)^2^/^3+1/C$ после знака $=$ знак плюс-минус