числа 1^2+2^2+3^2+…+n^2 не могут заканчиваться на 2, 3,7,8

[KAS136]

Помогите, пожалуйста, доказать, что десятичные записи чисел 1^2+2^2+3^2+…+n^2 не могут заканчиваться цифрами 2, 3, 7 и 8.

[Brukvalub]

KAS136 в сообщении #164897 писал(а):

Помогите, пожалуйста, доказать, что десятичные записи чисел 1^2+2^2+3^2+…+n^2 не могут заканчиваться цифрами 2, 3, 7 и 8.

Возможно, имеет смысл начать с формулы суммы квадратов первых n натуральных чисел?

[Батороев]

Можно рассмотреть остатки квадратов чисел по основанию 5.

[KAS136]

что-то не догоняю....

[Батороев]

В остатках по основанию $5$ указанная Вами сумма выглядит так:
$ 1+4+4+1+0+1+4+4+1+0+...$.
Числа же, оканчивающиеся на $2, 3, 7, 8$ в десятичной записи, имеют остатки $ 2, 3 \pmod 5 $.

[DmS]

....а без mod 5 можно?

[ewert]

можно ещё по модулю десять -- это просто буквально соответствует тексту задачи

----------------------------------------------------------
Собственно, тупой подход:

1). Последовательность остатков от деления $n^2$ на 10 имеет период (минимальный) не более десяти -- просто потому, что $(10m+k)^2=10(10m^2+2mk)+k^2$.

2). Сумма первых десяти квадратов оканчивается на пятёрку. Поэтому период остатков для сумм -- не выше двадцати.

3). Ну и тупо перебрать первые двадцать сумм.

[Батороев]

DmS писал(а):

....а без mod 5 можно?

Можно показать через доказательство того, что диофантовы уравнения:
$ 2n^3 + 3n^2 + n - 6(10k\pm 2) = 0 $
$ 2n^3 + 3n^2 + n - 6(10k\pm 3) = 0 $
не имеют решений в натуральных числах.

[KAS136]

НИЧЕГО НЕ ПОНЯЛ

[Azog]

Следите за последней цифрой. Осознайте цикличость. Обоснуйте.

[KAS136]

Большое спасибо!!!