Линейная алгебра, сиплектическая группа

[Bober2]

Добрый день, уважаемые участники форума! Прошу Вас дать подсказки по следующей задаче:

Доказать, что если две матрицы из sp(n,C) имеют один и тот же Жорданов тип, то они сопряжены матрицей из Sp(n,C)

Буду рад любой подсказке. За ранее Вам спасибо!

P.S.
Sp(n,C) - симплектическая группа над полем C
sp(n,C) - алгебра Ли группы Sp(n,C)

[drzewo]

(Оффтоп)

Знаете, я вот, в принципе, сталкиваюсь с симплектической геометрией, по долгу службы так сказать, но не привык к этим обозначениям. Раз вы считаете, что эти обозначения должны знать все, то я конечно прохожу мимо, и не вмешиваюсь.

[dgwuqtj]

Сначала стоит понять, какие бывают жордановы нормальные формы у матриц из $\mathfrak{sp}(n, \mathbb C)$. И из каких вообще матриц она состоит.

(Оффтоп)

Это стандартные обозначения комплексных групп и алгебр Ли.

[drzewo]

Bober2 в сообщении #1648911 писал(а):

sp(n,C) - алгебра Ли группы Sp(n,C)

это я должен алгебру вычислить, да? Ok, я вычислил и обнаружил, что ответ на ваш вопрос содержится в учебнике Мальцева <<основы линейной алгебры>>

[Bober2]

drzewo в сообщении #1648919 писал(а):

Bober2 в сообщении #1648911 писал(а):

sp(n,C) - алгебра Ли группы Sp(n,C)

это я должен алгебру вычислить, да? Ok, я вычислил и обнаружил, что ответ на ваш вопрос содержится в учебнике Мальцева <<основы линейной алгебры>>

А можете, пожалуйста, указать место в учебнике? А то в параграфе "Симплектические пр-ва" я не нашёл

[drzewo]

не вижу самостоятельных попыток решения. Из каких матриц состоит алгебра Ли?

[dgwuqtj]

Возможно, стоит начать с более базовых вещей. Что такое эта симплектическая группа и её алгебра Ли, по определению?

[drzewo]

(Оффтоп)

тогда уж сначала, что такое группа Ли? и из каких элементов состоит алгебра Ли группы Ли просто как множество?

[Bober2]

dgwuqtj в сообщении #1648925 писал(а):

Возможно, стоит начать с более базовых вещей. Что такое эта симплектическая группа и её алгебра Ли, по определению?

Спасибо, но что это такое я знаю. Мне удалось доказать, что ЖНФ матрицы из sp(n,C) имеет следующий вид: Если есть клетка $J_k(\lambda)$, то есть и $J_k(-\lambda)$. Так же я показал, что пространство $U$, ограничение на которое оператора $A \in sp(n,C)$ является жордановой клеткой с ненулевым значением - изотропно. Поэтому его можно вложить в лагарнжево подпр-во $L$. Любое симплектическое пр-во $V$ мы можем представить как $L \oplus L^*$. Поэтому я могу взять двойственное к $U$ подпр-во $U^*$. Несложно показать, что это подпр-во инвариантно и ограничение оператора на нём даёт жорданову клетку со значением $-\lambda$. Проблема в том, что я не знаю как действовать с жордановыми клетками с нулевыми значениями

-- 08.08.2024, 23:45 --

drzewo в сообщении #1648924 писал(а):

не вижу самостоятельных попыток решения. Из каких матриц состоит алгебра Ли?

Я не понимаю Вашего возмущения. Вы написали, что доказательство есть в книге Мальцева, я спросил где именно.

[drzewo]

Bober2 в сообщении #1648929 писал(а):

Я не понимаю Вашего возмущения. Вы написали, что доказательство есть в книге Мальцева, я спросил где именно

Вы его увидите когда ответите на мой вопрос. Там очень красивая общая теорема не только про симплектические пространства.

[Bober2]

drzewo в сообщении #1648931 писал(а):

Bober2 в сообщении #1648929 писал(а):

Вы его увидите когда ответите на мой вопрос. Там очень красивая общая теорема не только про симплектические пространства.

Алгебра Ли состоит из матриц таких, что $AJ + JA^t = 0$, где J - симплектическая структура. Получит это выражение можно если продифференцировать выражение, задающее симплектическую группу ($AJA^t = J$). Но я всё ещё не знаю, о какой теореме Вы говорите.

[drzewo]

Такие матрицы в теории пространств со скалярным произведение называются кососимметрическими
https://postimg.cc/YvkXd9RM

[Bober2]

drzewo в сообщении #1648933 писал(а):

Такие матрицы в теории пространств со скалярным произведение называются кососимметрическими
https://postimg.cc/YvkXd9RM

Большое спасибо!