Приложения определенного интеграла.

[integ]

Можно ли считать условия и формулы верными? 1) Длина дуги кривой в декартовых координатах, когда функция $ f(x) $ задана явно

$ L = \displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx $

Условия:
- Функция $ y = f(x) $ непрерывна и дифференцируема на интервале $[a, b]$.

2) Длина дуги кривой в декартовых координатах, когда функция задана параметрически

$ L = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt $

Условия:
- Параметрические функции $ x(t) $ и $ y(t) $ непрерывны и дифференцируемы на интервале $[t_1, t_2]$.

3) Длина дуги кривой в полярной системе координат, ограниченная двумя кривыми

Формула:
$ L = \displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{\left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 + r^2} \, d\theta $

Условия:
- Полярная функция $ r = f(\theta) $ непрерывна и дифференцируема на интервале $[\theta_1, \theta_2]$.

4) Объем тела вращения вокруг оси $ Ox $

Формула:
$ V = \pi \displaystyle\int_{a}^{b} \left[ f(x) \right]^2 \, dx $

Условия:
- Функция $ y = f(x) $ непрерывна на интервале $[a, b]$.

5) Объем тела вращения вокруг оси $ Oy $

Формула:
$ V = \pi \displaystyle\int_{c}^{d} \left[ g(y) \right]^2 \, dy $

Условия:
- Функция $ x = g(y) $ непрерывна на интервале $[c, d]$.

6) Площадь поверхности тела вращения вокруг оси $ Ox $

Формула:
$ S = 2\pi \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx $

Условия:
- Функция $ y = f(x) $ непрерывна и дифференцируема на интервале $[a, b]$.

7) Площадь поверхности тела вращения вокруг оси $ Oy $

Формула:
$ S = 2\pi \displaystyle\int_{c}^{d} x(y) \sqrt{1 + \left( \frac{dx}{dy} \right)^2} \, dy $

Условия:
- Функция $ x = g(y) $ непрерывна и дифференцируема на интервале $[c, d]$.

-- 08.08.2024, 19:31 --

Вроде бы есть какие-то шансы использовать не обратные функции в пунктах 5 и 7, если не ошибаюсь. Если да, то как именно должны выглядеть условия?

[drzewo]

integ в сообщении #1648895 писал(а):

Можно ли считать условия и формулы верными?

в смысле перепроверить правильно ли вы переписали справочник?

[nnosipov]

Почему обязательно переписал, мог и самостоятельно получить эти формулы. Для школьника, например, вполне разумное упражнение. Другое дело, что сейчас есть куча возможностей быстро проверить результат самостоятельно. Та же википедия, к примеру.

[Утундрий]

Как фактчекер рукопедия не годится, там масса ошибок/опечаток. Максимум для чего её можно использовать — для быстрого и грубого ознакомления с новой темой.

[drzewo]

ну пусть тогда читает это https://vk.com/wall-114918963_390?ysclid=lzljrxot3060403239

-- 08.08.2024, 21:26 --

или это https://vk.com/wall-94378522_20172?ysclid=lzljv3d1b3965863445

[dgwuqtj]

В пункте 2 просится условие, что $(x')^2 + (y')^2 \neq 0$, а в пункте 3 - что кривая не проходит через начало координат.

[drzewo]

dgwuqtj в сообщении #1648904 писал(а):

В пункте 2 просится условие, что $(x')^2 + (y')^2 \neq 0$, а в пункте 3 - что кривая не проходит через начало координат.

Оба условия -- лишние. Формулы верны и без них.

[dgwuqtj]

Там возникает вопрос, что такое кривая (и её длина), если это не топологическая кривая, а что-то дикое.

[drzewo]

dgwuqtj в сообщении #1648907 писал(а):

Там возникает вопрос, что такое кривая (и её длина), если это не топологическая кривая, а что-то дикое.

Согласен, если уже идти на принцип, то нужно все аккуратно расписывать:) . Назовем кривой образ интервала при отображении класса $C^1((0,1),\mathbb{R}^2)$, а диной ее дуги назовем интеграл

$$\int_{a}^b\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}dt,\quad (a,b)\subset(0,1)$$

Пойдет?

[dgwuqtj]

drzewo в сообщении #1648908 писал(а):

Назовем кривой образ интервала при отображении класса $C^1((0,1),\mathbb{R}^2)$

Пойдёт. Мне не очень нравится, что длина зависит от параметризации, ну да ладно.

[drzewo]

dgwuqtj в сообщении #1648909 писал(а):

Мне не очень нравится, что длина зависит от параметризации

да, это не годится, придется добавить $\dot x^2+\dot y^2\ne 0$

-- 08.08.2024, 22:53 --

либо , вместо этого, считать, что отображкение является биекцией на свой образ -- тога самопересечения исключаются, что тоже нежелательно

-- 08.08.2024, 22:57 --

или считать, что кривая это множество составленное из нескольких <<хороших >> кусков т.е. кусков с условием

drzewo в сообщении #1648910 писал(а):

$\dot x^2+\dot y^2\ne 0$